Định lý Gale-Ryser là một trong những định lý cổ điển của toán Tổ Hợp. Định lý này trả lời câu hỏi sau đây:

Cho trước hai vectors và gồm các số nguyên dương. Có tồn tại một ma trận nhị phân gồm hàng và cột, sao cho tổng hàng thứ của là và tổng cột thứ của là . Câu hỏi này tương đương với câu hỏi liệu có tồn tại đồ thị hai phần (bipartite graph) cho trước bậc của các đỉnh.

Ta có thể thấy ngay vài quan sát đơn giản để tránh các trường hợp ngớ ngẩn:

• Tất nhiên ta cần có
• Ta có thể giả sử và

Nói cách khác, ta chỉ cần trả lời câu hỏi trên khi mà và là hai phân hoạch nguyên (integer partition) của cùng một số nguyên dương . Một cách trực quan để hình dùng một phân hoạch nguyên là ta dùng sơ đồ Ferrers (Ferrers diagram). Ví dụ, sơ đồ Ferrers của phân hoạch có thể minh hoạ bằng sơ đồ Ferrrers như sau:

sage: print Partition([6,3,1]).ferrers_diagram()
******
***
*

(Ở trên ta dùng sage, một phần mềm tính toán tuyệt vời, miễn phí, thay vì đám Matlab, Maple, Mathematica.) Khi ta lật cái sơ đồ Ferrers này theo trục chéo chính thì ta có một phân hoạch liên hợp (conjugate partition) của phân hoạch cho trước. Phân hoạc liên hợp của là phân hoạch .

sage: print Partition([6,3,1]).conjugate().ferrers_diagram()
***
**
**
*
*
*

Cho một phân hoạch nguyên thì phân hoạch liên hợp của nó ký hiệu là . Cho hai phân hoạch của cùng một số nguyên thì áp đảo (dominate), ký hiệu nếu và chỉ nếu , với mọi . (Ở đây, nếu không tồn tại giá trị hay thì ta định nghĩa hay bằng .)

Bài tập: Chứng minh rằng nếu và chỉ nếu .

Đến đây ta đã đủ khái niệm để phát biểu định lý Gale-Ryser.

Định Lý Gale-Ryser: cho trước hai phân hoạch và của cùng một số nguyên dương . Tồn tại một ma trận nhị phân kích thước với là vector các tổng hàng và là vector các tổng cột nếu và chỉ nếu

Chứng minh. Có nhiều cách chứng minh định lý này. Một cách đơn giản là dùng định lý luồng cực đại, cắt cực tiểu (max-flow, min-cut). Ta xây dựng một mạng luồng (flow network) với nguồn (source), điểm thoát (sink), đỉnh trung gian và đỉnh trung gian khác . Các cạnh có dung lượng (capacity) đúng bằng . Các cạnh có dung lượng đúng bằng . Và các cạnh có dung lượng bằng .

Dễ thấy rằng tồn tại ma trận cần tìm nếu và chỉ nếu tồn tại một luồng từ đến với tổng dung lượng bằng . Mà điều này xảy ra nếu và chỉ nếu nhát cắt cực tiểu có dung lượng đúng bằng . Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng nếu và chỉ nếu dung lượng cắt cực tiểu bằng .

Gọi , và . Một nhát cắt bất kỳ sẽ chia ra phía nguồn là tập và phía thoát , trong đó là một phân hoạch của tập và là một phân hoạch của tập . Nhát cắt này có dung lượng bằng

Giả sử dung lượng cắt cực tiểu bằng . Khi đó, với một nhát cắt tuỳ ý thì dung lượng của nó ít nhất là . Nói cách khác, với mọi phân hoạch và , ta có

Xét một số nguyên dương tuỳ ý. Chọn , và là tập tất cả các sao cho . Khi đó, nếu là phân hoạch liên hợp của thì dễ thấy rằng . Vì thế .

Chiều nghịch cũng không khó khăn gì. Giả sử , ta phải chứng minh rằng với mọi phân hoạch và . Cái tổng lớn nhất nếu mà là tập . Và cái tổng nhỏ nhất nếu là tập . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh ta "moi" ra từ định nghĩa của sự áp đảo.

QED.

2. Xây dựng một ma trận nhị phân với các vector tổng hàng và tổng cột cho trước

Định lý Gale-Ryser không cho ta thuật toán trực tiếp xây dựng ma trận . Tất nhiên, ta có thể giải bài toán luồng cực đại nhưng như vậy có vẻ giết gà bằng dao mổ trâu. Vấn đề kế tiếp ta muốn giải quyết là, cho trước , xây dựng ma trận với vector tổng hàng là và vector tổng cột là .

Ta giải quyết bài toán này bằng một thuật toán tham lam như sau. (Thuật toán này chứng minh một chiều của định lý Gale-Ryser mà không dùng định lý luồng cực đại.) Ta cần xác định xem đặt các số vào đâu trong cột thứ nhất của , rồi dùng đệ qui để giải quyết phần còn lại cho các cột từ đến . Để đệ quy đơn giản, ta cho phép các số là không âm thay vì dương. Do , ta biết . Mà chính là tổng số các giá trị sao cho .

Cách đơn giản là đặt tổng cộng số ở các hàng mà , tính từ lớn nhất lên đến nhỏ nhất. Sau khi đã có các số này ở cột thứ nhất, thì ta giải quyết bài toán cho các cột còn lại. Tổng các cột bây giờ là , còn tổng các hàng là

Dễ thấy rằng điều kiện Gale-Ryser vẫn thoả mãn cho bài toán đệ qui. (Cần một ít trí tưởng tượng, nhưng thật sự là “dễ” thấy.) Thuật toán này thể hiện bằng Python như sau:

# **************************************************************************
# assume r^* dominates c, and r and c are partitions of the same positive
# integer B. Returns a matrix A whose row sums are r and column sums are c
# **************************************************************************
def gale_ryser(r, c):
    n = len(c); m = len(r)
    A = [ [0]*n + [r[i], i] for i in range(m) ]
    for j in range(n):
        if (c[j] == 0): break
        for i in range(c[j]):
            A[i][n] = A[i][n]-1
            A[i][j] = 1

        # sort A in terms of r, the row with the largest r_i comes first
        A.sort(key = lambda row: row[n], reverse = True)
    A.sort(key = lambda row: row[n+1]) # the original row order
    return [ row[0:n] for row in A ]

# simple test case
r = [3, 2, 2, 2, 1, 0, 0]
c = [3, 3, 3, 1, 0]
for row in gale_ryser(r, c): print row

Chạy thử

$ python gale-ryser.py 
[1, 1, 1, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 0]
[1, 0, 1, 0, 0]
[0, 1, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]

3. Một bài toán khó … chịu

Thế nếu ta muốn in tất cả các ma trận cho trước hai vectors tổng hàng và cột, thì làm sao cho hiệu quả? Đây là một bài toán khó.

[...]ông Vương Quang Khải, Phó Tổng Giám đốc Công ty VNG cũng cho rằng, các dịch vụ trong nước của VNG như Zing Mail, Zing Me… tuân theo rất nhiều chế tài của cơ quan quản lý trong khi các dịch vụ tương tự của nước ngoài như Yahoo Mail, Gmail, Facebook… thì không gặp phải bất cứ chế tài quản lý nào cả. Từ đó dẫn đến việc người dùng sẽ thích và sử dụng các dịch vụ nước ngoài vì không bị quản lý. VNG hi vọng thời gian tới sẽ có quy định để các doanh nghiệp trong và ngoài nước cùng “chơi” theo một luật để giúp CNTT Việt Nam phát triển. “Nếu cơ quan quản lý tiếp tục quản lý doanh nghiệp nội và ngoại như trên môi trường web thì VNG lo ngại chúng ta sẽ lại thua tiếp một lần nữa trên thị trường di động (mobile), giống như với thị trường mạng xã hội, máy tìm kiếm, email… dẫn đến thất thu về thuế và không quản lý được về an ninh”, ông Khải nhấn mạnh.

Quản lý an ninh là làm gì? Khoản 4, Điều 55 của Dự thảo nghị định quản lý Internet có quy định trách nhiệm của những công ty VNG như thế này (tôi in đậm những chỗ bên dưới, văn bản góc không có):

Điều 55. Trách nhiệm bảo đảm an ninh quốc gia, trật tự an toàn xã hội và phòng chống tội phạm trên mạng

4. Trách nhiệm của doanh nghiệp cung cấp dịch vụ Internet, viễn thông và nội dung thông tin trên mạng.

a. Triển khai các giải pháp, trang thiết bị kỹ thuật theo quy định của Bộ Công an để lưu trữ thông tin đưa vào, truyền đi trên mạng; ngăn chặn việc truy cập, truyền đưa thông tin có nội dung vi phạm Điều 5 của Nghị định này.

b. Xây dựng, ban hành quy định vận hành, khai thác, sử dụng dịch vụ Internet và nội dung thông tin trên mạng, Tổ chức việc đăng ký, quản lý và sử dụng thông tin cá nhân trên mạng theo quy định của Bộ Công an. Tuyên truyền, hướng dẫn, kiểm tra việc thực hiện đối với các đại lý Internet, người sử dụng dịch vụ, cán bộ, nhân viên trong nội bộ doanh nghiệp.

c. Cung cấp thông tin, phối hợp với đơn vị chức năng của Bộ Công an, các cơ quan Nhà nước có thẩm quyền thực hiện việc quản lý, kiểm tra, giám sát, phát hiện, ngăn chặn và xử lý các hành vi lợi dụng Internet, nội dung thông tin trên mạng vào hoạt động xâm phạm an ninh quốc gia và trật tự an toàn xã hội.

d. Ngừng ngay việc cung cấp dịch vụ Internet và thông tin trên mạng đối với các chủ thể lợi dụng các dịch vụ này để hoạt động chống lại Nhà nước Cộng hoà Xã hội chủ nghĩa Việt Nam, gây phương hại đến an ninh quốc gia khi có yêu cầu của cơ quan quản lý nhà nước có thẩm quyền.

e. Bố trí mặt bằng, điểm truy nhập mạng, các cổng kết nối, giao diện kết nối tại các điểm kết nối Internet quan trọng và những điều kiện kỹ thuật cần thiết cho các đơn vị chức năng thuộc Bộ Công an thực hiện nhiệm vụ bảo vệ an ninh quốc gia trong hoạt động Internet.

g. Phối hợp với cơ quan chức năng của Bộ Công an triển khai các biện pháp bảo đảm an ninh quốc gia, trật tự an toàn xã hội và phòng chống tội phạm trên mạng trước khi chính thức cung cấp dịch vụ. Thực hiện chế độ báo cáo đột xuất, định kỳ, cung cấp các thông tin cần thiết theo quy định của Bộ Công an.

h. Chịu trách nhiệm hướng dẫn đại lý Internet, điểm cung cấp dịch vụ trò chơi trực tuyến công cộng của doanh nghiệp thực hiện các quy định về bảo đảm an ninh quốc gia, trật tự an toàn xã hội và phòng chống tội phạm trên mạng của Bộ Công an trong hoạt động Internet và nội dung thông tin trên mạng.

i. Chịu sự thanh tra, kiểm tra việc chấp hành các quy định của pháp luật về bảo đảm an ninh quốc gia, trật tự an toàn xã hội và phòng chống tội phạm trên mạng của cơ quan quản lý nhà nước có thẩm quyền.

Như vậy VNG có đáng tin để chúng ta trao gửi thông tin cá nhân không? Câu trả lời của cá nhân tôi là không. Thật ra không chỉ riêng VNG mà tất cả các công ty Việt Nam đều phải thực hiện các điểm đã dẫn ở trên. Dẫu vậy tôi thất vọng khi VNG dùng lá bài “quản lý an ninh” để vận động chính quyền đưa ra chính sách có lợi cho họ.

Từ chỗ bị ép buộc, VNG bây giờ đã sỗ sàng gợi ý. Đây là một bước đi rất dài, chỉ tiếc là đi thụt lùi. Bao giờ thì ra được thế giới?

Trong bản phân tích khảo sát Hiến Pháp thì cỡ khoảng điểm trong không gian chiều được chiếu xuống không gian chiều sao cho khoảng cách giữa các cặp ý kiến vẫn gần như là được bảo toàn. Ngoài ý nghĩa rõ ràng về mặt hiển thị dữ liệu một cách trực quan, giảm số chiều là một thành phần cực kỳ quan trọng không thể thiếu của các phân tích thống kê hiện đại. Bài Dimension Reduction: A Guided Tour của Christopher Burges (MSR) là một tham khảo nhập môn rất tốt! (Đề mục 4.2 nói về MDS.)

Một cách giảm số chiều là dùng (các biến thể của) bổ đề Johnson-Lindenstrauss, một bổ đề rất quan trọng trong thống kê, tính toán hình học, cơ sở dữ liệu, v.v. Có rất nhiều cách chứng minh bổ đề này. Trong bài này ta thảo luận chứng minh của DasGupta và Gupta, phần nào để minh hoạ thêm về cái mẹo của Bernstein. Trước hết ta phát biểu một cách đại khái bổ đề JL.

Bổ Đề 1 (Bổ đề JL — phiên bản hoa tay múa chân) Cho một tập gồm điểm trong không gian , thì tồn tại một ánh xạ với “nhỏ” sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ và trong gần như là bằng với khoảng cách giữa hai ảnh and của chúng qua ánh xạ . Ánh xạ thoả tính chất này thường được gọi là biến đổi Johnson-Lindenstrauss.

Khi phát biểu phiên bản hoành tráng của bổ để JL dưới đây, ta sẽ tính toán cụ thể cho ra nhẽ thế nào là “nhỏ”. Trước hết, ta cần định nghĩa thế nào là “gần như là bằng”. Cho một vector khác không tuỳ ý, tỉ lệ được gọi là độ méo mó (distortion) của ánh xạ khi áp dụng vào vector . Ta cũng có thể dùng tỉ lệ chiều dài thay vì tỉ lệ bình phương chiều dài để định nghĩa độ méo mó, nhưng ta chọn tỉ lệ bình phương chiều dài để tiện phân tích về sau. Chọn lựa này hoàn toàn không quan trọng.

Khi hoa chân múa tay rằng “khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ và trong gần như là bằng với khoảng cách giữa hai ảnh của chúng qua ánh xạ “, ta thật sự muốn nói rằng độ méo mó của vector nằm trong khoảng trong đó là một tham số cho trước. Một hướng nghĩ khác: ánh xạ là một ánh xạ giúp ta nhúng (embed) các điểm của — vốn nằm trong là một không gian to — vào một không gian nhỏ, sao cho khoảng cách giữa các cặp điểm trong gần như là được bảo toàn.

Ta chứng minh bổ đề JL bằng phương pháp xác suất. Ta chọn một không gian con chiều của một cách ngẫu nhiên, chiếu các điểm của xuống không gian con này và giãn các hình chiếu ra một chút. Cuối cùng, chứng minh rằng ánh xạ chiếu-giãn này là một phép biến đổi JL với xác suất dương. Từ đó suy ra tồn tại phép biến đổi JL.

Xác suất ta cần chặn là xác suất tồn tại một cặp điểm , trong sao cho độ méo mó của nằm ngoài khoảng . Để chặn xác suất này, và để biết tỉ lệ giãn phải là bao nhiêu, trước hết ta ước lượng xem với một cặp vectors , cho trước, thì độ méo mó của sẽ phân bố như thế nào.

Để làm được ước lượng trên, gọi là một vector khác không tuỳ ý trong không gian . Thay vì chọn một không gian con của với chiều rồi chiếu xuống, ta cũng có thể cố định một không gian con với đúng chiều, sau đó chọn một vector phân bố đều trên mặt cầu của với bán kính là , và xét hình chiếu của vector xuống không gian . Phân bố chiều dài của sẽ giống hệt như phân bố chiều dài của khi ta chọn ngẫu nhiên với cố định.

Do không gian cố định là tuỳ hỉ, ta chọn luôn là không gian tạo bởi toạ độ đầu tiên. Khi đó, với thì hình chiếu của xuống sẽ là . Câu hỏi kế tiếp là làm thế nào để chọn ngẫu nhiên phân bố đều trên mặt cầu bán kính trong không gian ? Đây là một bài toán cổ điển, và có lẽ Mervin Muller (CACM, 1959) là người đầu tiên đề ra phương pháp sau đây. Trước đó thì có hai phương pháp khác, một vào năm 1956 cũng của Muller trên tờ Annals of Mathematical Statistics, và hai vào năm 1959 của Hicks và Wheeling cũng trên tờ CACM.

Phương pháp Muller nói rằng: để chọn điểm phân bố đều trên mặt cầu , trước hết ta chọn độc lập biến từ phân phối chuẩn hoá (standard normal distribution), sau đó đơn giản là ta gán

Bài tập sau đây là một bài tập tương đối đơn giản nhưng thú vị.

Bài Tập 1 Chứng minh rằng vector chọn như trên có phân phối đều như mong đợi.

Kế đến, ta xem xét hình chiều của xuống toạ độ đầu tiên xem chiều dài nó như thế nào.

Bài Tập 2 Nhớ rằng . Chứng minh rằng

Nói cách khác, nếu ta định nghĩa

thì ta có . Như vậy, nếu chỉ tính về trị kỳ vọng thì hình chiếu của xuống sau khi giãn ra một tỉ lệ là sẽ có chiều dài bình phươngbằng như ta muốn! Tuy nhiên, chỉ trị kỳ vọng thôi thì không đủ. Ta muốn gần với xác suất cao. Để phân tích xác suất này, ta dùng cái mẹo của lão Bernstein.

Trong các chặn dưới đây, ta sẽ giả sử , tại vì nếu thì không còn gọi là giảm số chiều được nữa. Ngoài ra, ta cũng dùng một kết quả đơn giản nữa:

Bài Tập 3 Gọi là một biến ngẫu nhiên từ phân bố chuẩn hoá. Chứng minh rằng, với mọi số thực ta có

Chặn đuôi trên: Gọi là một thạm số ta sẽ chọn sau. Ta có,

Bất đẳng thức trong chuỗi suy luận trên chính là con gà của Markov. Đẳng thức cuối dùng kết quả của Bài Tập 3. Do đó, để có thể áp dụng đẳng thức trong bài tập thì ta cần hai điều kiện cho :

Bất đẳng thức thứ hai luôn thoả vì . Bất đẳng thức thứ nhất luôn thoả nếu . Còn khi thì ta cần thêm điều kiện

Lưu ý rằng nếu thì khi vế phải ở trên tiến về . Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp . Để có chặn trên tốt nhất, ta tìm để tối đa hoá hàm

Ta có,

Phương trình có nghiệm

Nghiệm này nằm trong khoảng cho phép của . Tóm lại, ta đã chứng minh được điều sau đây.

• Nếu thì

  

• Nếu thì, với như trên,

  

Chặn đuôi dưới: ta chặn đuôi dưới dùng cùng một phương pháp.

Đẳng thức cuối cùng, dùng kết quả của Bài Tập 3, đúng nếu như

Điều kiện sau mạnh hơn điều kiện trước. Do đó, ta chỉ cần

Kế đến, để tìm chặn trên tốt nhất ta tìm sao cho hàm sau đây tối đa:

Lại tính đạo hàm:

Đạo hàm bằng không tại

Giá trị này nằm trong khoảng cho phép. Do đó, ta kết luận

Dùng hai bất đẳng thức 1 và 2, ta kết luận rằng

Xác suất bên vế trái là xác suất mà độ méo mó của một vector ngẫu nhiên trên mặt cầu nằm ngoài khoảng . Như ta đã lý luận ở trên, xác suất này bằng với xác suất mà một vector cố định (chiều dài ) có độ méo mó khi chiếu-giãn xuống một không gian ngẫu nhiên nằm ngoài khoảng . Do vector là tuỳ ý, điều này cũng đúng với , với là một cặp vectors bất kỳ trong . Do đó, xác suất tồn tại một cặp sao cho độ méo mó của dưới ánh xạ nằm ngoài khoảng nhiều nhất là

Nếu biểu thức trên nhỏ hơn hẳn là ta xong. Để biểu thức này nhỏ hơn hẳn , điều kiện đủ là cả hai bất đẳng thức sau đây đúng:

Ta cần chọn sao cho cả hai bất đẳng thức này đúng. Lưu ý rằng với mọi , và với mọi , ta có

nếu Và vì ta chặn

nếu Dễ thấy rằng . Do đó ta chỉ cần là đủ. Tóm lại, ta đã chứng minh được Bổ Đề JL một cách chặt chẽ.

Bổ Đề 2 (Bổ Đề Johnson-Lindenstrauss) Gọi là một số thực tuỳ ý. Gọi là một tập điểm trong không gian , và là một số nguyên sao cho

(Ta cũng giả sử , nếu không thì ta chọn và không cần phép chiếu nào.) Khi đó, nếu ta chọn ngẫu nhiên một không gian con của với chiều. Xét ánh xạ từ vào . Thì xác suất của sự kiện sau đây là dương: với mọi độ co giãn của dưới ánh xạ nằm trong khoảng .

Có ba câu hỏi rất tự nhiên:

• Thứ nhất, Bổ Đề JL cần . Có thể tồn tại nhỏ hơn không? Noga Alon chứng minh rằng buộc phải ít nhất là . Có một khoảng cách nhỏ giữa chặn dưới và chặn trên. Bài toán này vẫn còn mở.
• Thứ hai, làm thế nào để xây dựng phép biến đổi JL một cách hiệu quả. Chứng minh trên chỉ cho ta sự tồn tại. Bằng cách thay đổi tham số một chút, ta có thể biến nó thành một thuật toán ngẫu nhiên hoá không khó khăn gì, với thời gian chạy kỳ vọng là poly ta sẽ tìm được ánh xạ . Tuy nhiên thời gian chạy này vẫn không phải là thời gian xác định.
• Thứ ba, hầu hết các kết quả đã biết xây dựng phép biến đổi JL bằng cách chọn một ma trận kích thước ngẫu nhiên, dùng phân bố Gauss hoặc Bernoulli. Tuy nhiên, phân bố Gauss thường cho một ma trận dày đặc, làm cho việc tính tốn rất nhiều thời gian. Do đó, ta muốn một phép biến đổi JL tính được trong thời gian nhanh hơn . Ta gọi các phép biến đổi này là phép biết đổi JL nhanh (FJLT). Để biết các kết quả gần nhất, tham khảo một chuỗi các bài của Jelani Nelson và Daniel Kane, trong đó họ cũng đề cập đến vấn đề xây dựng cụ thể phép biến đổi JL (thay vì xây dựng xác suất).

]]> http://www.procul.org/blog/2013/04/03/phan-tich-khao-sat-gop-y-du-thao-hien-phap-bang-bo-de-johnson-lindenstrauss/feed/ 20 http://www.procul.org/blog/2013/03/21/giai-thuong-turing/ http://www.procul.org/blog/2013/03/21/giai-thuong-turing/#comments Thu, 21 Mar 2013 19:24:12 +0000 Phan Dương Hiệu http://www.procul.org/blog/?p=5261 Giải thưởng Turing (được ví như giải Nobel của ngành Khoa học máy tính) lần này sẽ được trao cho Shafi Goldwasser và Silvio Micali. Các bạn có thể xem thông báo chính thức “Goldwasser, Micali Receive ACM Turing Award for Advances in Cryptography” tại đây.

Hai đóng góp nổi bật của Goldwasser và Micali là về mật mã xác suất và chứng minh tương tác/chứng minh không để lộ tri thức. Loạt bài PCP của anh Hưng liên quan mật thiết tới chứng minh tương tác. Ngoài ra, một giới thiệu vui về  chứng minh không để lộ tri thức các bạn có thể xem bài này.

Dưới đây mình sẽ bàn về bài báo Mật mã xác suất (Probabilistic Encryption). Bài báo này cùng lúc đưa vào : một cách nhìn mới về việc mã hoá ; những khái niệm nền tảng về an toàn ; và một phương pháp chứng minh tính an toàn của các hệ mã.

1. Mật mã xác suất

Xác suất thường được dùng nhằm để giúp tìm kiếm lời giải cho các bài toán một cách nhanh hơn là các thuật toán đơn định. Chẳng hạn, hiện nay tuy vẫn chưa có thuật toán tìm số nguyên tố một cách đơn định trong thời gian đa thức, nhưng đã có thuật toán xác suất rất hiệu quả với thời gian kỳ vọng là đa thức. Những thuật toán xác suất này được sử dụng trong thực tế để thiết lập các sơ đồ mã hoá.

Vậy nhưng Probabilistic Encryption lại mang đến một ý nghĩa khác cho việc sử dụng xác suất: giá trị ngẫu nhiên không phải được dùng để tìm kiếm nhanh hơn mà được sử dụng để xây dựng tốt hơn. Trước đó, hàm mã hóa được thiết lập duy nhất dựa trên khóa thì nay ta chủ động đưa thêm vào một giá trị ngẫu nhiên. Do vậy, tương ứng với một bản rõ là một không gian rất lớn các bản mã, nhưng tất nhiên mỗi bản mã vẫn luôn tương ứng duy nhất với một bản rõ.

Ta có thể đặt câu hỏi một cách tự nhiên: hà cớ gì phải phức tạp hoá vấn đề? Câu trả lời ngắn gọn là việc ngẫu nhiên hóa hàm mã giúp nâng lên rất cao độ an toàn cho hệ mã. Và ta sẽ thấy, tất cả các hệ mã muốn đạt được một mức độ an toàn chấp nhận được đều nhất thiết phải là mã hóa xác suất.

2. Khái niệm an toàn và nền móng cho các phương pháp chứng minh tính bảo mật

Goldwasser và Micali  đưa ra những khái niệm an toàn làm nền tảng cho việc chứng minh tính bảo mật của các sơ đồ mã hóa.

Cách làm truyền thống là anh nào xây thì bảo hệ mã của tôi an toàn, đố ai phá được đấy. Lâu ngày không ai phá được thì dân làng tin là sơ đồ đó tốt. Nhưng cũng có khi đến lúc người ta tưởng là hệ mã an toàn thì lại có anh phá được, vậy là lại phải tìm tòi hệ mới. Xây xây phá phá xây xây tạo thành vòng luẩn quẩn khó thoát ra được. Goldwasser và Micali khởi đầu cho cách làm khoa học hơn: anh nào xây thì đồng thời phải chứng minh là hệ của mình an toàn!

Khi phá thì chỉ cần đưa ra một tấn công trong khi chứng minh an toàn thì phải loại bỏ được mọi cách tấn công. Nhưng trước khi nói tới việc loại bỏ tấn công thì phải hiểu tường minh thế nào là an toàn. Đóng góp lớn của Goldwasser và Micali là việc hình thức hóa chặt chẽ khái niệm an toàn, từ đó vạch đường cho các chứng minh: hình thức hóa khái niệm an toàn; mô hình hóa sức mạnh của kẻ tấn công ; và cuối cùng là  chứng minh hệ của tôi đạt được mức độ an toàn yêu cầu trước tất cả những tấn công thực tế đã được mô hình hóa .

Khái niệm an toàn mà Goldwasser và Micali đưa ra rất mạnh: kẻ tấn công, từ bản mã, không thể tìm được dù chỉ một bít thông tin về bản rõ. Khái niệm này được gọi là an toàn ngữ nghĩa (semantic security), là một phiên bản của khái niệm an toàn tuyệt đối nhưng giới hạn cho kẻ tấn công là các giải thuật trong thời gian đa thức. Sau đó, Goldwasser và Micali chứng minh là an toàn ngữ nghĩa tương đương với  tính không phân biệt được (IND-indistingishability) của hai bản mã: kẻ tấn công chọn hai bản rõ khác nhau và và nhận một bản mã của một trong hai bản rõ này, nó không thể phân biệt được là bản mã tương ứng với bản rõ hay .

Nhìn từ yêu cầu đạt tính không phân biệt được, thật rất tự nhiên để thấy một hệ mã hóa khóa công khai bắt buộc phải là một hệ mã xác suất. Thật vậy, nếu hệ mã là đơn định, tương ứng với mỗi bản rõ chỉ có duy nhất một bản mã. Hơn nữa, nếu là hệ mã hóa khóa công khai, kẻ tấn công có thể tự mã hõa bản rõ với khóa công khai, và nó sẽ tự tính được bản mã của và và chỉ cần so sánh với là phá được tính IND. Do vậy, một cách cần thiết, hệ mã phải là hệ mã xác suất mới mong đạt IND. Khi đó, tương ứng 1 bản rõ là một không gian rất lớn các bản mã và phép so sánh trên không còn hiệu quả.

Một cách nhìn khác, khái niệm IND ngầm định rằng hai phân bố ngẫu nhiên trên hai không gian bản mã của và là không phân biệt được đối với kẻ tấn công. Đứng trên quan điểm thông tin, do hai không gian này là rời nhau (nếu không sẽ có bản mã được giải ra các bản rõ khác nhau) nên khoảng cách thống kê (statistical distance) của hai phân bố là cực đại và tất nhiên chúng hoàn toàn phân biệt. Cái thú vị là khi giới hạn cho kẻ tấn công là một thuật toán thì ta có thể chuyển khoảng cách thống kê sang khoảng cách tính toán: computational distance định nghĩa khả năng phân biệt hai phân bố xác suất đối với các thuật toán. Tính IND yêu cầu computational distance của hai phân bố là vô cùng nhỏ đối với mọi thuật toán trong thời gian đa thức! Sau này, từ khái niệm computational distance sẽ dẫn tới  khái niệm computational entropy được dùng phổ biến trong mật mã. Đối với mã hóa khóa công khai, cái hay là mọi thứ đều xác định vì khóa công khai xác định duy nhất khóa bí mật (do đó theo quan điểm thông tin, Shannon entropy bằng 0), nhưng lại rất khó tính-tức khó giải mã (và do vậy cần thiết rằng computational entropy là rất lớn). Shannon entropy = 0 nhưng đồng thời computational entropy phải lớn, đó là nguyên tắc cần đạt trong các hệ mã.  Đây là cách nói đại khái, mình dự định sẽ có một bài bàn về khái niệm computational entropy một cách “nhiều Shannon entropy” hơn ^_^.

3. Sự khởi đầu cho các phương pháp chứng minh tính an toàn

Chúng ta biết rằng điều kiện tối thiểu để xây dựng các sơ đồ mật mã là sự tồn tại các hàm một chiều (các bạn có thể xem thảo luận thêm về vấn đề này tại bài này và bài này trên blog). Và khi P = NP thì cũng dẫn tới không tồn tại các hàm một chiều và các hệ mã sẽ đều bị phá vỡ. Do vậy khi bài toán P vs. NP còn chưa có lời kết, sự an toàn của các sơ đồ mật mã đều phải dựa trên một giả thuyết nào đó như giả thuyết về sự tồn tại các hàm một chiều (giả thiết tối thiểu với mã đỗi xứng) hay các hàm một chiều có cửa lật (giả thiết tối thiểu với mã hoá khoá công khai), hay các giả thuyết cụ thể về độ khó của các bài toán phân tích số hay lô ga rít rời rạc. Dù là giả thuyết kiểu gì thì đó cũng là một bài toán “tĩnh”, tức có đầu vào cụ thể và mục đích là giải bài toán đó.

Trong khi đó tính an toàn của một hệ mã lại liên quan đến bài toán tương tác (interactive problem) giữa kẻ tấn công và hệ thống. Trong lúc tấn công, kẻ phá mã có thể truy cập hệ thống và có thêm thông tin cho việc tấn công. Đối với hệ mã hoá khoá công khai, các kẻ tấn công được mô hình hoá theo nghĩa rất mạnh: kẻ tấn công có quyền truy cập máy giải mã (truy cập theo kiểu Oracle – hỏi đáp) trên mọi bản mã trừ duy nhất bản mã nó cần giải mã. Khái niệm này được gọi là Chosen Ciphertext Security hay CCA security hay IND-CCA (IND against Chosen Ciphertext Attacks). Việc chứng minh tính an toàn của một hệ mã có thể nói ngắn gọn là việc qui dẫn một tấn công tương tác cho hệ mã về một tấn công tĩnh cho một bài toán được giả thiết là khó.

Khái niệm an toàn IND được Goldwasser và Micali hình thức hóa như trên là thông qua một trò chơi tương tác (Game) giữa kẻ tấn công và hệ thống (challenger) và nó đặt nền móng cho các phương pháp chứng minh tính an toàn sau này: khởi đầu là một Game theo định nghĩa, sau đó bản thân Game được “tiến hóa” dần dần sao cho kẻ tấn công có lợi thế “tương đương” giữa hai Games kế tiếp (“tương đương” theo nghĩa computational distance giữa phân bố đầu ra của hai Games là nhỏ không đáng kể). Trong mỗi Game sau, khả năng tương tác của kẻ tấn công bị triệt tiêu dần và cho đến Game cuối cùng là khi kẻ tấn công bị vô hiệu hoá khả năng tương tác và trở thành một kẻ tấn công tĩnh cho một bài toán được giả thuyết là khó. Mô hình chứng minh bằng các Games kế tiếp được sử dụng phổ biến trong các chứng minh tính an toàn của các hệ mã.

———————

Ngoài lề :

Công trình của Goldwasser và Micali  là cảm hứng cho hàng nghìn nhà khoa học tiếp tục phát triển lý thuyết mật mã và hầu như người làm mật mã nào cũng có thể thích thú cảm thấy như những kết quả của mình liên quan ít nhiều đến nền móng được đặt ra bởi  Goldwasser và Micali.

Với riêng mình, một số kết quả cùng David Pointcheval (thầy hướng dẫn PhD) cũng ít nhiều có liên hệ với công trình của Goldwasser và Micali, giải thích chút cho vui ^_^:

1. Một hệ mã muốn đạt CCA security cần phải là mã xác suất. Nhưng tất cả các cách xây dựng các hệ mã đạt CCA security lại cần phải đưa vào thêm tính dư thừa vào không gian bản mã: hầu hết các bản mã đều không tương ứng với một bản rõ nào. Đây là kỹ thuật để vô hiệu hoá việc truy cập máy giải mã: kẻ tấn công chỉ có thể hỏi những bản mã trong phần dư thừa, không tương ứng bản rõ nào, do vậy việc hỏi máy giải mã là vô nghĩa. Bọn mình nêu câu hỏi: liệu tính dư thừa có thực sự cần thiết?  Trong mô hình giới hạn với Random Oracle (hiện hệ mã chuẩn được sử dụng nhiều nhất trong thực tế là RSA-OAEP cũng chỉ có chứng minh trong mô hình Random Oracle), bọn mình chứng minh tính xác suất là cần và đủ để đạt CCA security, và độ dư thừa là không cần thiết. Hai bài báo liên quan ở đây (chứng minh dựa trên sự tồn tại một hoán vị một chiều bộ phận có cửa lật) và ở đây (chứng minh dựa trên sự tồn tại một hàm một chiều có cửa lật).

Chú ý là đối với mô hình chứng minh không có  Random Oracle, câu hỏi liệu tính chất xác suất có là đủ để đạt CCA security vẫn còn là câu hỏi mở. Tất cả các hệ mã hiện có đều cần tính dư thừa. Đây vẫn là một câu hỏi mà thỉnh thoảng mình lại trăn trở với nó. Qua trao đổi với nhiều người, một số cho rằng tính dư thừa là cần thiết, một số cho rằng không nhưng các lập luận đều còn cảm tính. Một chứng minh khẳng định theo chiều hướng nào cũng đều thú vị.

2. Đối với hệ mã hóa khóa công khai, để đạt IND nhất thiết cần là hệ mã xác suất. Câu hỏi tương tự nhưng xét cho hệ mã đối xứng thì sao? Bọn mình đặt mối liên quan giữa khái niệm IND và khái niệm giả ngẫu nhiên (khái niệm thông dụng cho mã đối xứng) và chứng minh là hệ mã đối xứng đơn định, không dư thừa có thể đạt IND. Và điều thú vị là trong khi tính adaptivity (truy cập oracle sau khi nhận thách thức) trong mã hoá khoá công khai đưa đến sức mạnh rõ rệt cho kẻ tấn công thì với mã đối xứng, tính adaptivity lại hầu như không có tác dụng. Bạn nào quan tâm có thể đọc bài này.

———————

Lan man:

Có những tác phẩm nổi trội mà được những người trong ngành và công chúng có cách nhìn khác nhau. Mình được kể rằng lúc đương thời, những bản nhạc của Robert Shumann được các nhạc sỹ đánh giá rất cao, trong khi công chúng lại ít để ý tới và mải say mê với các tác phẩm của Rossini. Tác phẩm “Mật mã xác suất” của Goldwasser và Micali được giới trong ngành đánh giá tuyệt đẹp, bản thân mình thấy hay hơn hệ mã RSA.  Hệ mã RSA? ok, một công trình đỉnh, nhưng thực sự khoảng cách từ công trình của Diffie-Helmann đến RSA không phải là quá lớn. Với mình, khái niệm mật mã hoá khoá công khai mới thực sự bất ngờ và cách mạng. Từ đó đến hệ mã RSA có lẽ không sớm thì muộn cũng sẽ có. Nhưng công chúng thì ai ai cũng biết tới hệ mã RSA, mà chẳng mấy ai biết mã xác suất là gì. Ngay cả khi mình bắt đầu làm PhD về mật mã thì mới biết đến mã xác suất. Có thể do RSA được sử dụng hầu khắp? nhưng tất cả các hệ mã đang được sử dụng cũng đều là mã xác suất để có thể đạt độ an toàn chấp nhận được.

Có những tác phẩm mà khi ra đời chưa được đón nhận xứng đáng ngay cả từ giới chuyện môn, nhưng vẻ đẹp bí ẩn tiềm tàng của nó lại ngày càng được phát hiện theo thời gian, chẳng hạn như bức tranh Mona Lisa của Leonardo da Vinci. Và công trình nền tảng của Goldwasser-Micalli-Rackoff, nơi đưa vào khái niệm tuyệt vời về chứng minh tương tác và chứng minh không để lộ tri thức, cũng là một ví dụ như thế. Bài báo của họ liên tiếp bị từ chối tại FOCS ’83, STOC ’84, FOCS ’84 trước khi được nhận. Chứng minh tương tác và chứng minh không để lộ tri thức là những khái niệm rất đẹp và có ý nghĩa thực tế. Những kết quả sau này (IP=PSPACE và MIP=NEXP) cho thấy, nếu anh là một người có sức mạnh và quyền lực tuyệt đối, có những điều anh không thể chứng minh được tính đúng đắn qua những tuyên bố đơn phương và anh chỉ có thể chứng minh sự đúng đắn của mình qua đối thoại. Và chứng minh không để lộ tri thức đảm bảo rằng, dù phải dùng đối thoại để thuyết phục đối phương về một sự đúng đắn, anh sẽ không cần để lộ bất cứ bí mật nào. Do vậy, sự đối thoại là rất cần thiết.

Cuối cùng, cái sự lan man này của tớ chắc cũng còn mù mờ, hy vọng bạn nào hứng thú sẽ đọc và có thể trình bày rõ nét những kết quả như IP=PSPACE và MIP=NEXP như một sự cùng đối thoại trên blog.

Tôi rất thích đoạn phim này. Có lẽ là do tôi đồng cảm với nhân vật. Không hẳn là tôi bị hội chứng sợ dơ, nhưng tôi rất ngán các nhà vệ sinh có cửa nắm thế này và hơn một lần tôi cũng đứng chờ có người mở cửa vào để đi ra mà không phải chạm tay .

Tôi bắt đầu chú ý đến thiết kế của các toilet công cộng từ cách đây vài năm. Tôi thấy thiết kế toilet không phải chuyện đơn giản. Có rất nhiều vấn đề, đôi khi rất nhỏ thôi, mà nếu làm không tốt sẽ có thể gây ảnh hưởng đến sức khỏe của nhiều người.

Một toilet thiết kế tốt phải touch-free, nghĩa là người ta đi ra, đi vào, ngồi xuống, xả hàng, đứng lên, rửa tay, lau tay v.v. tất tần tật đều không phải chạm vào bất kỳ vật gì cả. Nếu phải chạm thì việc chạm đó phải diễn ra trước khi người ta rửa tay hoặc là phải cung cấp giấy lót tay khi chạm vào đâu đó.

Quan trọng nhất là cửa ra vào. Cách thiết kế tốt nhất là không cửa. Đây cũng là cách thiết kế thường thấy của toilet ở các sân bay. Nếu lỡ chẳng may đã làm cửa (do không đủ không gian), thì phải nghĩ đến chuyện làm sao người ta có thể mở cửa mà không bị dơ tay. Có nhiều cách để làm, mỗi cách có ưu khuyết riêng.

Ví dụ như thiết kế để cửa có thể được mở bằng cách đẩy ra. Lúc này người ta có thể dùng vai hoặc chân để mở cửa. Mở cửa ra ngoài hay vô trong cũng là một câu hỏi thú vị của thiết kế các toilet công cộng.

Một cách làm đơn giản hơn là đặt giấy lót tay ở cạnh cửa ra vào, để khách có thể dùng khi mở cửa. Lúc này phải chú ý đặt một thùng rác ngay cạnh đó, không thôi sẽ gây trở ngại cho khách không biết vứt giấy ở đâu.

Còn nhiều vấn đề nữa, nhưng tôi nghĩ bạn đã hiểu tại sao tôi nói thiết kế toilet không phải chuyện đơn giản. Không chỉ riêng toilet, mà bất kỳ vật dụng hàng ngày nào cũng đòi hỏi một sự tỉ mỉ, tinh tế và sáng tạo trong thiết kế, nếu muốn vừa đáp ứng yêu cầu của người sử dụng vừa bảo vệ được sức khỏe của họ.

Một thiết kế tốt phải bám sát thực tế. Trước khi phát hành sản phẩm, người ta thường mời các nhiều nhóm khách hàng khác nhau đến sử dụng thử sản phẩm, quay phim lại rồi từ đó phân tích và điều chỉnh sản phẩm cho đơn giản hay an toàn hơn. Khi thiết kế không tính đến sản phẩm được sử dụng ra sao trong thực tế thì sản phẩm sẽ bị dùng sai, gây ra những trở ngại, đôi khi nguy hiểm đến sức khỏe của nhiều người.

Ví dụ như chiếc pô xe máy. Tôi thấy đây là một thiết kế cực tồi và hậu quả là tôi chưa từng gặp ai ở Việt Nam mà không bị phỏng pô xe một lần trong đời. Tôi không hiểu sao sau bao nhiêu đó năm và bao nhiêu vụ tai nạn như vậy, mà những công ty sản xuất xe máy vẫn không giải quyết vấn đề này. Thậm chí nhiều công ty còn làm cho nó trầm trọng hơn, khi thiết kế phần đích xe cao hơn phần đầu (vì lý do thẩm mỹ), khiến cho những người ngồi sau xe, do phải với chân xuống đất, càng dễ chạm vào pô khi xuống xe.

Ngược lại thiết kế tốt sẽ giúp sản phẩm đơn giản, dễ sử dụng, khó sử dụng sai và không gây nguy hiểm cho người dùng. Có rất nhiều vật dụng không cần ai chỉ, không cần phải xem hướng dẫn sử dụng nhưng chúng ta vẫn có thể sử dụng thành thạo ngay từ lần đầu tiên, ví dụ như chiếc điện thoại để bàn. Điều mà ít ai biết là để thiết kế ra được một sản phẩm như thế, người ta đã phải nghiên cứu và thử nghiệm rất lâu.

Hồi TetCon 2013 có bạn sinh viên hỏi tôi là ngoài rèn luyện các kỹ năng liên quan mật thiết đến ngành an toàn thông tin như lập trình, hệ điều hành, mạng, v.v. thì còn cần phải biết thêm gì nữa không. Tôi có nói là nên đọc thêm về thiết kế. Lý do thì đã nói nãy giờ: thiết kế có ảnh hưởng trực tiếp đến usability (dịch là tính khả dụng?) của sản phẩm. Một đồng nghiệp của tôi từng nói rằng chỉ có thằng điên mới không quan tâm đến usability khi làm an toàn thông tin.

Thông thường thì sản phẩm càng có nhiều tính năng an toàn, càng có nhiều lớp bảo vệ thì usability càng kém đi. Ví dụ như nhà có nhiều cửa thì sẽ càng an toàn, nhưng mỗi khi ra vào lại phải mở khoá cửa nhiều lần, rất bất tiện. Nhiệm vụ của người kỹ sư là phải làm sao cân bằng được giữa security và usability. Đó chính là thiết kế.

Một thiết kế tồi sẽ khiến cho người dùng khó chịu và tìm cách luồn lách để làm được việc họ muốn làm mà không phải đi xuyên qua các bước kiểm tra an toàn, bất kể nguy hiểm thế nào. Lúc này các tính năng an toàn đã bị vô hiệu hóa bởi chính đối tượng mà chúng cần phải bảo vệ. Đây là một thất bại của người kỹ sư.

Thiết kế tồi còn khiến cho người dùng dễ mắc sai lầm. Ai sử dụng Microsoft Windows hay bất kỳ hệ điều hành nào khác chắc hẳn đều đã gặp các thông báo cài đặt bảng vá hay nâng cấp mới. Đây là một thiết kế rất dở, bởi lẽ nó yêu cầu người dùng đưa ra một quyết định rất quan trọng, nhưng quên mất rằng phần lớn chúng ta không thể phân biệt được đâu là một thông báo của hệ điều hành, đâu là thông báo giả danh của bọn lừa đảo. Tôi nghĩ Chrome làm rất tốt ở chỗ này, khi họ âm thầm cập nhật và người dùng chỉ cần nhấn một nút hoặc tắt trình duyệt mở lại là có ngay bản mới nhất.

–

Đọc cái gì bây giờ để hiểu thêm về thiết kế?

Bài báo kinh điển Why Johnny can’t encrypt của Whitten và Tygar chỉ ra rằng những tính năng an toàn phải được thiết kế đặc biệt hơn các tính năng khác nếu không người sử dụng sẽ không hiểu hoặc không biết cách sử dụng chúng. Sau bài báo này của Whitten và Tygar, đã có rất rất nhiều nghiên cứu khác tập trung vào đề tài usable security. Những ai quan tâm có thể xem thêm cuốn Security Engineering của Peter Gutmann.

Một cuốn sách rất tốt về thiết kế nên đọc là The Design of Everyday Things. Đọc nó rồi bạn sẽ không còn bao giờ đi tè trong bình yên được nữa . Về thiết kế phần mềm và thiết kế web, thì nên tìm đọc những cuốn kinh điển như Don’t Make Me Think, Designing The Obvious, hoặc các bài viết về thiết kế của Joel Spolsky và sách của Jakob Nielsen.

Tây tiến cùng Hiến pháp

Hiến pháp đâu rồi Tây tiến ơi!
Nói về chính trị nói khơi khơi
Điều 4, đất đai hai tử huyệt
Lập hành tư pháp rối bời bời
Chủ nghĩa xã hội dốc thăm thẳm
Heo hút cồn mây chết bao đời
Nghị quyết lên cao nghị quyết xuống
Bầy sâu tham lam tít mù khơi
Ông tổng giãi lòng không kỷ luật
Gục trên bục gỗ mắt lưng tròng!
Oan khiên Tiên Lãng trời gầm thét
Chuyện “Bên thắng cuộc” chấn lòng người
Nhớ đồng chí X bị hun khói
“Tôi có làm sao Ðảng hiểu tôi!”

Ðất nước bừng lên chuyện sửa sang
Kìa em hiến pháp tự bao giờ
Khèn lên man dại tình giai cấp
Dân chủ pháp quyền ai hay mơ
Người vào Bô xít chiều sương ấy
Có thấy bẩy hai cụ trên hình
Có nhớ ký vào trang kiến nghị
Trôi dòng thác lũ hoa đong đưa

Tây tiến toàn dân muốn tự do
Biển Ðông xanh thẳm lắm sóng ngầm
Quân đội nhất định vì Dân tộc
Cho đảng suy thoái trong hòa bình
Các trí thức cùng viết Hiến pháp
Bloggers, facebooks thổi lửa xanh
Ðắc Kiên dõng dạc đòi dân chủ
Nhân sĩ gầm lên khúc độc hành

Tây tiến người đi không hẹn ước
Ðường lên thăm thẳm một chia phôi
Ai tìm Hiến pháp mùa xuân ấy
Hồn về Dân Nước chớ buông xuôi

CHI 6/3/2013
N.X.L.

Chép lại bài thơ Tây Tiến nổi tiếng của cụ Quang Dũng về một giai đoạn hào hùng của dân tộc:

Sông Mã xa rồi Tây tiến ơi!
Nhớ về rừng núi nhớ chơi vơi
Sài Khao sương lấp đoàn quân mỏi
Mường Lát hoa về trong đêm hơi
Dốc lên khúc khuỷu dốc thăm thẳm
Heo hút cồn mây súng ngửi trời
Ngàn thước lên cao ngàn thước xuống
Nhà ai Pha Luông mưa xa khơi
Anh bạn dãi dầu không bước nữa
Gục lên súng mũ bỏ quên đời!
Chiều chiều oai linh thác gầm thét
Đêm đêm Mường Hịch cọp trêu người
Nhớ ôi Tây tiến cơm lên khói
Mai Châu mùa em thơm nếp xôi

Doanh trại bừng lên hội đuốc hoa
Kìa em xiêm áo tự bao giờ
Khèn lên man điệu nàng e ấp
Nhạc về Viên Chăn xây hồn thơ
Người đi Châu Mộc chiều sương ấy
Có thấy hồn lau nẻo bến bờ
Có nhớ dáng người trên độc mộc
Trôi dòng nước lũ hoa đong đưa

Tây tiến đoàn quân không mọc tóc
Quân xanh màu lá dữ oai hùm
Mắt trừng gửi mộng qua biên giới
Đêm mơ Hà Nội dáng kiều thơm
Rải rác biên cương mồ viễn xứ
Chiến trường đi chẳng tiếc đời xanh
Áo bào thay chiếu anh về đất
Sông Mã gầm lên khúc độc hành

Tây tiến người đi không hẹn ước
Đường lên thăm thẳm một chia phôi
Ai lên Tây tiến mùa xuân ấy
Hồn về Sầm Nứa chẳng về xuôi.

Phù Lưu Chanh – 1948
(trích trong tập thơ Mây đầu ô, NXB Tác phẩm mới, Hà Nội, 1986).

(Thơ Nguyễn Đắc Kiên)

tôi chưa thấy một đêm nào dài thế,
bốn ngàn năm, giờ lại ngót trăm năm.
hết phong kiến độc tài, đến lũ bạch tuộc thực dân,
hết quân, hết vương, đến lũ tượng thần chủ nghĩa.

bao thế hệ siết rên trong gọng kềm nô lệ.
chuyên chế dã man đục rỗng chí con người.
cha tôi, ông tôi, bao thế hệ ngủ vùi.
tôi chưa thấy một đêm nào dài thế.

không ánh mặt trời, bóng tối chí tôn,
lũ quỷ ám thừa cơ toàn trị,
khủng bố dã man, reo rắc những kinh hoàng,
biến lẽ sống thành châm ngôn “mày phải sợ”.

mày phải sợ mày ơi mày phải sợ,
sợ nữa đi có sợ mãi được không,
cốt tủy mục rỗng rồi trí óc cũng tối đen,
mày lại đẻ ra lũ cháu con “biết sợ”.

bao thế hệ đã ngậm ngùi mắc nợ,
lũ chúng ta lẽ nào lại mắc nợ mai sau,
còn chần chừ gì mà không tỉnh dậy mau,
sống cho xứng danh xưng con người trên mặt đất.

tôi chưa thấy một đêm nào dài thế,
cũng chưa thấy có ngày mai nào không thể.
vì người ta cần ánh mặt trời,
tỉnh dậy đi lũ chúng ta ơi!

hà nội, 25.2.2012

Bác Nguyễn Đắc Kiên cũng vừa có một status trên Facebook rất đáng ngưỡng mộ.

Gửi tất cả các bạn. Đầu tiên cho tôi xin lỗi vì đã không thể trả lời mọi comment và tin nhắn của các bạn. Tôi cố gắng để add tất cả mọi người, hy vọng là có đủ thời gian. Dù có chuyện gì xảy ra, tôi chỉ mong các bạn hiểu cho một điều, tôi không muốn là anh hùng, không muốn là thần tượng. Nước ta đã có nhiều anh hùng, nhiều thánh thần quá rồi. Tôi sợ. Tôi chỉ nghĩ rằng, khi đất nước ta có tự do, dân chủ, các bạn sẽ thấy rằng, các bài viết của tôi là rất bình thường, nó thật sự bình thường, không có gì to tát cả. Tôi cũng xin các bạn đừng nặng lời phê phán Báo Gia đình & Xã hội nơi tôi đã làm việc, tôi hiểu và tôn trọng quyết định của lãnh đạo báo. Nếu ở cương vị của họ, có thể tôi cũng phải làm thế. Tôi hiểu là mọi thứ còn chưa bắt đầu. Cầu chúc an lành cho tất cả chúng ta.

Tôi biết đến bác Nguyễn Đắc Kiên từ bài viết gần đây của bác ấy, tiếng là gửi TBT Nguyễn Phú Trọng, nhưng thật sự là một tuyên ngôn chính trị. Quả là như status trên Facebook viết, những tuyên ngôn chính trị như vậy đáng lý ra phải được xem là một chuyện rất bình thường ở một xứ sở tự do.

Vài lời với TBT Nguyễn Phú Trọng
– Nguyễn Đắc Kiên

Chương trình Thời sự VTV1, 19h, ngày 25/2 đưa phát biểu tại Vĩnh Phúc của TBT ĐCS Việt Nam Nguyễn Phú Trọng như sau: “Vừa rồi đã có các luồng ý kiến cũng có thể quy vào được là suy thoái chính trị, tư tưởng, đạo đức … Xem ai có tư tưởng muốn bỏ Điều 4 Hiến pháp không, phủ nhận vai trò lãnh đạo của đảng không? Muốn đa nguyên đa đảng không? Có tam quyền phân lập không? Có phi chính trị hóa quân đội không? Người ta đang có những quan điểm như thế, đưa cả lên phương tiện thông tin đại chúng đấy. Thì như thế là suy thoái chứ còn gì nữa!”(*)

Bằng tất cả sự tôn trọng với người đang đứng đầu một đảng chính trị của VN, tôi xin nói với ông Nguyễn Phú Trọng vài lời như sau:

Đầu tiên, cần phải xác định, ông đang nói với ai? Nếu ông nói với nhân dân cả nước thì xin khẳng định luôn là ông không có tư cách. Ông là Tổng bí thư Đảng Cộng sản Việt Nam, nếu muốn dùng hai chữ “suy thoái” thì cùng lắm là ông chỉ có thể nói với những người đang là đảng viên cộng sản, ông không đủ tư cách để nói lời đó với nhân dân cả nước. Nếu ông và các đồng chí của ông muốn giữ Điều 4, muốn giữ vai trò lãnh đạo, muốn chính trị hóa quân đội, không muốn đa đảng, không muốn tam quyền phân lập, thì đó chỉ là ý muốn của riêng ông và ĐCS của ông. Ông không thể quy kết rằng đó là ý muốn của nhân dân Việt Nam. Tuy nhiên, cũng cần phải nhấn mạnh rằng, những ý muốn trên chỉ nên xem là của riêng ông TBT Trọng, chưa chắc đã là tâm nguyện của toàn bộ đảng viên cộng sản hiện nay.

Tiếp theo, xin đi vào nội dung, ông nói suy thoái về đạo đức. Tôi muốn hỏi ông, đạo đức của ông đang muốn nói là đạo đức nào? Đạo đức làm người? Đạo đức công dân? Đạo đức dân tộc VN? … Tôi tạm đoán là ông đang muốn nói đến đạo đức người cộng sản của các ông. Vậy, các ông cho rằng chỉ có đạo đức cộng sản của các ông là đạo đức đích thực? Thế ra, cha ông tổ tiên chúng ta, khi chưa có chủ nghĩa cộng sản vô đạo đức hết à? Thế ra, những người không theo đảng cộng sản trên thế giới là vô đạo đức hết à?

Tiếp theo, xin đi vào nội dung suy thoái chính trị, tư tưởng. Tôi muốn hỏi ông, chính trị, tư tưởng ông đang muốn nói là chính trị, tư tưởng nào? Có phải chính trị, tư tưởng của đảng cộng sản? Vậy ra chỉ có đảng cộng sản của các ông là duy nhất đúng à? Cá nhân tôi cho rằng, không một người có lương tri bình thường nào thừa nhận như thế. Cùng lắm ông chỉ có thể nói với các đảng viên cộng sản như vậy, nhưng ngay cả với các đảng viên cộng sản, ông cũng không thể quy kết tội suy thoái cho họ. Nếu không tin, ông thử đọc lại Cương lĩnh chính trị và Điều lệ đảng các ông ban hành xem. Không có điều nào nói xóa bỏ Điều 4 là suy thoái, muốn đa nguyên về chính trị là suy thoái, muốn phi chính trị hóa quân đội là suy thoái, chỉ có tham ô, tham nhũng… đi ngược lại lợi ích của nhân dân là suy thoái. Ông đương kim tổng bí thư ĐCS VN thử đọc lại và nghĩ lại chỗ này xem.

Bây giờ, tôi trân trọng tuyên bố những điều tôi muốn:

1- Tôi không chỉ muốn bỏ Điều 4 trong Hiến pháp hiện hành, mà tôi muốn tổ chức một Hội nghị lập hiến, lập một Hiến pháp mới để Hiến pháp đó thực sự thể hiện ý chí của toàn dân Việt Nam, không phải là ý chí của đảng cộng sản như Hiến pháp hiện hành.

2- Tôi ủng hộ đa nguyên, đa đảng, ủng hộ các đảng cạnh tranh lành mạnh vì tự do, dân chủ, vì hòa bình, tiến bộ của dân tộc Việt Nam, không một đảng nào, lấy bất cứ tư cách gì để thao túng, toàn trị đất nước.

3- Tôi không chỉ ủng hộ xây dựng một chính thể tam quyền phân lập mà còn muốn một chính thể phân quyền theo chiều dọc, tức là tăng tính tự trị cho các địa phương, xây dựng chính quyền địa phương mạnh, xóa bỏ các tập đoàn quốc gia, các đoàn thể quốc gia tiêu tốn ngân sách, tham nhũng của cải của nhân dân, phá hoại niềm tin, ý chí và tinh thần đoàn kết dân tộc.

4- Tôi ủng hộ phi chính trị hóa quân đội. Quân đội là để bảo vệ nhân dân, bảo vệ tổ quốc, bảo vệ cương vực, lãnh thổ không phải bảo vệ bất cứ một đảng phái nào.

5- Tôi khẳng định mình có quyền tuyên bố như trên và tất cả những người Việt Nam khác đều có quyền tuyên bố như thế. Tôi khẳng định, mình đang thực hiện quyền cơ bản của con người là tự do ngôn luận, tự do tư tưởng; quyền này mỗi người sinh ra đã tự nhiên có, nó được nhân dân Việt Nam thừa nhận và tôn trọng; quyền này không phải do đảng cộng sản của các ông ban cho, nên các ông cũng không có quyền tước đoạt hay phán xét nó. Vì thế, tôi có thể xem những lời phán xét trên của ông, nếu có hướng đến tôi là một sự phỉ báng cá nhân. Và tôi cho rằng, những người nào chống lại các quyền trên là phản động, là đi ngược lại với lợi ích của nhân dân, dân tộc, đi ngược lại xu hướng tiến bộ của nhân loại.

Gần 20 năm trước, Russell Impagliazzo đưa ra định nghĩa rất thú vị về 5 thế giới khác nhau (cseweb.ucsd.edu/~russell/average.ps). Chúng ta sống ở một trong 5 thế giới đó, nhưng không biết chắc mình sống trong thế giới nào. Gần 20 năm trôi qua, vẫn chưa có thế giới nào chia tay chúng ta. Hiện vẫn đang có 5 thế giới quanh ta, và ta không biết là mình đang ở đâu.

Đến một ngày, nếu có anh hùng nào may mắn chứng minh chúng ta đang thực sự sống ở đâu, thì cũng là ngày tận thế của 4 thế giới ảo còn lại, điều đó thật buồn và những người còn lại thật kém may… Chẳng hạn một chứng minh P=NP sẽ là ngày tận thế của 4 thế giới. Tuy nhiên, ta sẽ thấy rằng, một chứng minh P khác NP thì chỉ làm 1 thế giới suy tàn và vẫn còn lại 4 thế giới lung linh Vì vậy, nếu Bụt hiện xuống và cho chọn giữa “ P=NP” hay “P khác NP” thì mình sẽ chọn “P khác NP” ^_^

Impagliazzo minh họa 5 thế giới một cách rất xuất sắc để ai cũng hiểu được, thông qua câu chuyện tưởng tượng giữa thầy giáo Grouse và cậu học trò Gauss. Cậu trò Gauss thông minh nổi tiếng, trên lớp thầy giao bài nào cũng giải ngon ơ rồi rỗi rãi chọc phá các bạn làm thầy giáo rất là cay cú. Ông thầy Grouse quyết tâm tìm những bài toán siêu khó để nhằm mục đích làm cho Gauss bớt kiêu.

Và từ đó hình thành 5 thế giới theo định nghĩa của Impagliazzo:

Thế giới Algorithmica (thuật toán), là nơi “P = NP”. Khi đó bài toán nào có khả năng kiểm tra lời giải cũng có khả năng tìm ra lời giải. Tức là mọi bài toán thực tế (là bài toán mà ta có thể kiểm tra xem một lời giải là đúng hay sai) đều giải được dễ dàng. Đó là thế giới chán ngán nhất, cái gì cũng giải được. Thật tội cho ông thầy Grouse, dù cố công cũng không thể tìm ra bài toán nào làm Gauss bó tay cả.

Thế giới Heuristica là nơi tuy “P khác NP” nhưng mọi bài toán NP đều có lời giải trong trường hợp trung bình (đầu vào của bài toán – instance – được chọn ngẫu nhiên theo một phân bố xác suất nào đó). Tức là sẽ có những bài toán khó giải trong trường hợp xấu nhất, nhưng mà không có cách gì tìm ra cái trường hợp xấu nhất đó. Mọi cách chọn bài toán đều dẫn tới bài toán dễ giải. Đây là trường hợp càng làm cho ông Grouse cảm thấy cay đắng: ông biết là Gauss không phải con cưng của thượng đế, có những bài Gauss không giải được, nhưng ông không có cách nào tìm ra chúng. Bài nào mà ông lựa chọn thì Gauss đều giải được.

Thế giới Pessiland là nơi tồn tại các bài toán NP khó ngay cả trường hợp trung bình, nhưng không tồn tại hàm một chiều (one-way function). Hàm một chiều là hàm tính xuôi thì dễ mà tính ngược thì khó. Nói một cách khác, hàm một chiều cho phép ta sinh ra một bài toán khó giải từ lời giải của nó, tức là ta có thể sinh ra một bài toán khó kèm theo lời giải. Thế nhưng, trong Pessiland, giả thiết là không tồn tại hàm một chiều. Điều đó có nghĩa ông thầy Grouse có thể tìm ra những bài toán khó mà Gauss không giải được (vì tồn tại bài toán NP khó trong trường hợp trung bình), nhưng bản thân ông Grouse cũng không thể giải được bài toán đó (vì không tồn tại hàm một chiều). Đưa ra cho cả lớp một bài toán mà bản thân mình cũng không giải được, liệu ông Grouse có dám không?

Thế giới Minicrypt là nơi tồn tại hàm một chiều one-way function nhưng không tồn tại mã hóa khóa công khai (public-key encryption). Cuối cùng cũng đã tới một thế giời mà ông Grouse có thể hài lòng: ông có thể ra những bài toán khó, Gauss không thể giải được và ông thì đĩnh đạc trình bày lời giải cho cả lớp! Tuy thế, ông chưa thật thỏa mãn, vì Gauss tuy không giải được, nhưng các bạn khác cũng chẳng ai giải được nên Gauss vẫn còn có thể tinh tướng.

Thế giới Cryptomania là nơi tồn tại mã hóa khóa công khai (public-key encryption). Với sự tồn tại mã hóa khóa công khai, ông thầy Grouse có thể dạy cho Gauss một bài học nhớ đời. Sự tồn tại của mã hóa khóa công khai cũng có nghĩa là hai bên có thể trao đổi những thông điệp bí mật với nhau mà không cần phải chia sẻ, thống nhất bất cứ thông tin bí mật nào trước, và sự trao đổi là hoàn toàn công khai. Ở thế giới Cryptomania, ông thầy không những có thể ra những bài toán khó làm Gauss không thể giải được mà còn có thể đưa ra các gợi ý để cho tất cả các học sinh đều giải được, trừ Gauss. Đây quả là một tình huống lý tưởng – Gauss trở thành cậu học sinh duy nhất trong lớp không giải được bài!

Nói riêng về mật mã:

Minicrypt là thế giới tối thiểu để có thể nói tới từ mật mã, mật mã chỉ tồn tại nếu có one-way function (xem thêm bài “Mật mã dưới góc nhìn độ phức tạp tính toán”).

Chúng ta đang được giả thuyết là sống trong thế giới Cryptomania. Các giao dịch ngân hàng, việc sử dụng thẻ tín dụng, mua bán trực tuyến, duyệt blog với giao thức https… đều có sử dụng public-key encryption. Tuy nhiên, độ an toàn của các hệ mã khóa công khai đều dựa trên một giả thuyết nào đó, như là bài toán phân tích thành thừa số nguyên tố là khó, bài toán logarithm rời rạc trên nhóm các điểm trên đường cong elliptic là khó, hay tổng quát lên là tồn tại các hoán vị xuôi dễ ngược khó và có cửa lật (trapdoor one-way permutation)…

Điều gì sẽ xảy ra khi một đêm, một siêu nhân từ đâu rơi xuống giải hết tuốt các bài toán tưởng là khó này, hủy diệt Cryptomania, đưa chúng ta trở lại thế giới Minicrypt?

Minicrypt, đó là thế giới nguyên thủy của mật mã, khi mật mã chưa là một ngành khoa học, tức là khi chưa có mật mã hóa khóa công khai. Ấy thế mà trong Minicrypt lại vẫn có rất nhiều thứ thú vị : vẫn sẽ tồn tại zero-knowledge proof, vẫn sẽ tồn tại chữ ký điện tử . Điều rất đặc biệt là chữ ký điện tử ra đời trên xương sống của mã hóa khóa công khai. Khi hệ mã RSA được đưa ra, người ta cứ nghĩ là mã hóa và chữ ký điện tử là hai quá trình ngược nhau: mã hóa thì dùng khóa công khai để mã và khóa bí mật để giải mã; còn chữ ký thì dùng khóa bí mật để ký và dùng khóa công khai để kiểm thử chữ ký. Tưởng vậy mà không phải là vậy, chúng nó ở hai thế giới khác nhau. (xem thêm bài “Vẻ đẹp bất định của mật mã hiện đại”)

Nếu tương lai chúng ta quay lại Minicrypt, đó không phải là thảm họa. Mật mã được đánh dấu bước chuyển mình từ nghệ thuật thành một ngành khoa học kể từ khi ra đời mật mã hóa khóa công khai. Để rồi khi có chứng minh mã hóa công khai không tồn tại, mật mã lại trở về thời kỳ chỉ có mã hóa khóa bí mật, nơi nó đã được coi là một môn nghệ thuật

Nếu quá khứ nó là một nghệ thuật, tương lai cũng có thể là một nghệ thuật, thì hiện tại dù thế nào nó vẫn là một nghệ thuật ^_^. Nếu tương lai là Minicrypt, thì có nghĩa chúng ta đi một vòng qua thế giới ảo Cryptomania, và chính nhờ cuộc thám hiểm ở xứ sở diệu kỳ đó sẽ đem về những thành quả thực vẫn sẽ tồn tại ngay trong Minicrypt: zero-knowledge proofs, hàm giả ngẫu nhiên, chữ ký điện tử, khả năng thiết lập mọi trò chơi ảo như oẳn tù tì qua internet…

Chính thế mà đôi lúc chúng ta nên nhảy vào sống ở một thế giới ảo. Ngoài sự sung sướng được sống trong thế giới kỳ bí đó, thì khi quay trở lại thế giới thực có khi ta còn mang về được những sáng tạo thực mà nếu sống mãi trong thế giới thực ta sẽ không thể tạo ra chúng.