Trị đặc trưng và vector đặc trưng
Ngô Quang Hưng | 23 tháng 10, 2007 | 
Bản để in
Eigenvalues và eigenvectors xuất hiện cực kỳ nhiều trong các ngành khoa học và kỹ thuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v. Để hiểu ý nghĩa của chúng, có hai hướng nhìn thông dụng, áp dụng được trong rất nhiều trường hợp.
1. Loại động cơ (motivation) thứ nhất.
Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phép tính sau đây: cho trước một ma trận A và nhiều vectors x, tính 
với nhiều giá trị khác nhau của số mũ 
. Ví dụ 1: nếu A là ma trận của một phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) nào đó, như phép quay và co dãn trong computer graphics chẳng hạn, thì cho ra kết quả của phép BĐTT này áp dụng k lần vào x. Các games máy tính hay các annimations trong phim của Hollywood có vô vàn các phép biến đổi kiểu này. Mỗi một object trong computer graphics là một bộ rất nhiều các vector x. Quay một object nhiều lần là làm phép nhân với từng vectors x biểu diễn object đó. Khối lượng tính toán là khổng lồ, dù chỉ trong không gian 3 chiều. Ví dụ 2: nếu A là transition matrix của một chuỗi Markov rời rạc và x là distribution của trạng thái hiện tại, thì chính là distribution của chuỗi Markov sau k bước. Ví dụ 3: các phương trình sai phân (difference equation) như kiểu phương trình 
cũng có thể được viết thành dạng để tính 
với k tùy ý. Ví dụ 4: lũy thừa của một ma trận xuất hiện tự nhiên khi giải các phương trình vi phân, xuất hiện trong khai triển Taylor của ma trận 
chẳng hạn.