Lần này ta chứng minh một định lý kinh điển của đại số: định lý Cayley-Hamilton. Mặc dù có thể phát biểu tổng quát hơn, ta chỉ phát biểu nó cho các trường số thực và phức. Định lý Cayley-Hamilton: Gọi là một ma trận vuông thực hoặc phức. Gọi là đa thức đặc trưng [...]
Anh Nghị mới gửi cho tôi đề thi toán quốc tế 2007 ở Hà Nội dạng pdf. Chưa biết kết quả thế nào. Theo thông lệ, mỗi năm tôi cũng xem đề và giải các bài mình thích. Tôi rất ngại hình học, còn phương trình hàm thì nhàm, cho nên đa số chỉ giải [...]
Lần này ta xét một số chứng minh kinh điển về các số vô tỉ và các số siêu việt (transcendental numbers). Ví dụ 7: khoảng 500 năm trước công nguyên, Hippasus khám phá ra số vô tỉ đầu tiên, , với chứng minh chặt chẽ. (Theo truyền thuyết thì chứng minh này đem lại [...]
Ví dụ 6: Tiếp theo bài 1 và bài 2, lần này ta xét vài kết quả liên quan đến hệ số Gauss (Gaussian coefficients, còn gọi là q-binomial coefficients vì nó là q-analog của binomial coefficients). Xét không gian vector , là không gian hữu hạn chiều trên trường ( là lũy thừa của [...]
Tiếp theo bài trước, lần này ta xét một ví dụ kinh điển. Ví dụ 5. Euler là bậc thầy của kỹ thuật định trị hai cách (và là bậc thầy của ti tỉ thứ khác). Năm ông 24 tuổi (1731), Euler là người đầu tiên trong lịch sử toán học tìm được biểu thức [...]
Có vẻ như viết cái gì “technical” quá hoặc thuần túy news thì ít có lời bình, cái gì philosophical hoặc khôi hài một chút thì hấp dẫn hơn. Bằng chứng là bác Ái Việt đang tiếp tục bình hai posts cũ: “nếu phải làm lại từ đầu” và “going to higher dimensional space” Nhân [...]
Một trong những ý tưởng sâu sắc nhất tôi học được trong Toán học là “định trị một đại lượng bằng hai cách“. Ta có thể dùng ý tưởng này để chứng minh rất nhiều các đẳng thức toán học tìm công thức (gọn) tính một biểu thức toán học chứng minh rất nhiều các [...]
