Định lý. Cho ba tập hữu hạn . Định nghĩa

Ta có .

Chứng minh. Gọi các thành viên của là các “tam giác”. Mỗi thành viên của là các ứng cử viên cho các cạnh của các tam giác trong . Với một cạnh bất kỳ, gọi là tập tất cả các tạm giác trong có là một cạnh. Dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

Định nghĩa là số các sao cho và gọi là số các sao cho . Dễ thấy rằng . Do đó,

QED.

thì không tồn tại nhiều hơn điểm sao scho , , và . Gọi các điểm này là các điểm ba màu.

Với inputs là , để in ra các điểm ba màu thì thời gian chạy là tầm thường. Và, ta biết trong trường hợp tệ nhất thì cần .

Câu hỏi: thiết kế thuật toán với thời gian chạy càng nhanh càng tốt để in ra toàn bộ các điểm ba màu. Có thể đạt tới được không?

Lưới 3 chiều

Đôi khi nghĩ về một vấn đề thì lại nghĩ ra một bài toán (đố) thú vị chẳng liên quan gì đến vấn đề đầu tiên.

Có anh lính đứng trên các tọa độ nguyên dương của trục . Mỗi anh bắn một tia xanh song song với trục lên hướng . Lại có anh lính đừng trên các tọa độ nguyên dương của trục . Mỗi anh bắn song song với trục một tia đỏ về hướng . Như vậy, tổng các điểm (tọa độ nguyên) có cả 2 màu xanh và đỏ là .

Bây giờ giả sử có anh lính đứng trên các tọa độ nguyên dương của mặt phẳng . (Như vậy các anh lính không còn đứng trên trục và nữa.) Mỗi anh bắn một tia xanh song song với trục lên hướng . Rồi anh trên các tọa độ nguyên dương của mặt phẳng bắn các tia đỏ song song với trục về hướng ; và anh trên các tọa độ nguyên dương của mặt phẳng bắn các tia vàng song song với trục về hướng .

Hỏi: có tối đa bao nhiêu điểm trong không gian 3 chiều có cả ba màu xanh đỏ vàng? Tại sao?

Cho , tổng số các điểm tọa độ nguyên thỏa điều kiện

bằng

Gợi nhớ công thức Hardy-Ramanujan-Rademacher.

Hỏi

1. Với , bạn cần dùng máy bao nhiêu lần để biết tổng số xu giả? Nhớ rằng tổng số xu giả là 0, 1, hoặc 2 trong trường hợp này.

2. Với , giả sử Alice là chủ máy thử xu. Bạn có thể hỏi Alice thử giùm, nhưng Alice chỉ nói kết quả của tất cả các phép thử cùng một lúc, chứ không nói kết quả từng phép thử. Ví dụ, bạn có thể bảo Alice thử các mớ xu , , . Cuối cùng Alice báo cho bạn kết quả là mớ thứ nhất có xu giả, mớ thứ hai không có, mớ thứ ba không có, vân vân. Đây là phiên bản bất ứng biến (non-adaptive) của bài toán. Phép thử sau không phụ thuộc vào kết quả của phép thử trước. Bạn cần dùng bao nhiêu phép thử để biết tổng số xu giả?

3. Với , lập lại các câu 1 và 2.

Lưu ý:

(a) Câu 3 là câu hỏi “mở”, theo nghĩa là chứng minh chặn dưới chặt có lẽ không dễ.

(b) Các câu hỏi cân xu truyền thống thường đòi hỏi chỉ ra bộ xu giả. Còn các câu trên hỏi việc đếm xu giả. Đếm xu “dễ” hơn chỉ ra xu giả, vì nếu chỉ được thì đếm được. Tinh thần của bài toán nằm ở cái tradeoff giữa tổng số phép thử và độ “nhuyễn” của câu trả lời (đếm/chỉ ra).

1. Động cơ

A. Công thức inclusion-exclusion nói rằng, để đếm tổng số nhóc tì có Chí Phèo là bố hoặc thị Nở là mẹ, thì ta cộng số con của chí Phèo với số con của thị Nở trừ đi số con chung. Nói cách khác cho tập thì

Công thức này một số sách nói là của Abraham de Moivre (1667–1754); nhưng có vẻ nó xuất hiện năm 1854 từ một bài báo của Daniel da Silva, và lần nữa năm 1883 trong một bài báo của Joseph Sylvester. Năm 1891, François Édouard Anatole Lucas (cha đẻ bài toán tháp Hà Nội) đặt câu hỏi sau đây: “cho một cái bàn tròn và cặp vợ chồng, có bao nhiêu cách để xếp họ ngồi nam nữ xem kẽ sao cho không cặp vợ chồng nào ngồi kề nhau?” Ta có thể dùng công thức IE để trả lời câu hỏi của Lucas. (Bài tập. Hà, tớ không cho bài đếm số derangements chán ngấy nhé!)

B. Trong lý thuyết số có một công thức gọi là công thức nghịch đảo Möbius, xinh hơn hoa hậu! Công thức này phát biểu như sau. Cho hai hàm số bất kỳ trên miền số nguyên dương, ta có

tương đương với

trong đó là hàm Möbius định nghĩa như sau

Möbius là một nhà thiên văn, từng là trợ lý của Gauss; ông cũng là tác giả của cái băng Möbius lừng danh trong hình học Tô-pô.

C. Công thức Euler phát biểu rằng , trong đó là tổng số đỉnh, cạnh, và mặt của một khối đa diện ba chiều. Euler khám phá ra công thức này năm 1752, nhưng có vẻ như Descartes cũng đã biết nó từ 1640. Trăm năm sau, năm 1852, Schläfli phát biểu công thức tổng quát cho các đa diện lồi trong không gian -chiều, nhưng chứng minh đúng phải chờ đến người khổng lồ Poincaré (1893). Công thức Euler tổng quát như sau. Gọi là tổng số “mặt” -chiều của đa diện chiều (“mặt” -chiều là đỉnh, mặt -chiều là cạnh, vân vân). Ta cũng định nghĩa và để viết cho tiện. Thì ta có công thức Euler tổng quát

D. Năm 1964, trong bài đầu tiên của một chuỗi bài báo kinh điển đặt nền móng cho lý thuyết tổ hợp đại số, Gian-Carlo Rota cho chúng ta biết cả ba công thức trên chẳng qua là trường hợp đặc biệt của phương pháp tính nghịch đảo Möbius trên các tập hợp thứ tự một phần (partially ordered set, hay poset). Mà phương pháp nghịch đảo Möbius trên posets thì chẳng qua chỉ là phát biểu sau đây: nếu là một ma trận vuông khả nghịch, thì tương đương với . Đại số tuyến tính muôn năm! Rota có quyển sách rất thú vị có nhiều chuyện gossips nổi tiếng trong giới chuyên môn: Indiscrete Thoughts.

Trong bài này chúng ta duyệt qua phương pháp của Rota, chứng minh cả ba công thức trên, và chứng minh lại bổ đề Sauer để tự thưởng công.

2. Nghịch đảo Möbius trên posets

Poset đại khái là một tập hợp mà ta có thể so sánh lớn nhỏ giữa một số cặp phần tử nhưng không nhất thiết là so được tất cả các cặp. Thứ tự lớn nhỏ này có tính bắc cầu (transitive) và không tạo ra thứ tự luẩn quẩn.

Cụ thể hơn, một poset (tập thứ tự một phần) là một cặp trong đó là một tập hợp và là một quan hệ nhị phân (hay quan hệ hai ngôi) giữa các phần tử của thỏa mãn 3 tính chất

1. và suy ra , với mọi (tính bắc cầu — transitive)
2. (tính phản xạ — reflexive)
3. và suy ra (tính phản xứng — antisymmetric)

Ví dụ 1: là tập tất cả các tập con của và quan hệ nhị phân là , nghĩa là nếu và chỉ nếu . Cái poset này gọi là đại số Bool (Boolean algebra).

Ví dụ 2: là tập tất cả các ước số dương của , quan hệ nhị phân là quan hệ “chia hết”, nghĩa là nếu và chỉ nếu . Ký hiệu nghĩa là chia hết cho (hay chia hết ).

Ví dụ 3: là tập tất cả các “mặt” (faces) của một đa điện (polytope) trong không gian chiều; và nếu mặt chứa trong mặt . Mặt rỗng cũng là một mặt với chiều , và toàn bộ đa diện là một mặt với số chiều bằng . Poset này còn gọi là face lattice của polytope.

(Các hình trên đều chôm từ Wikipedia.)

Những điều ta viết sau đây đúng cho một trường tùy hỉ và các posets vô hạn (miễn là nó hữu hạn địa phương). Để cho đơn giản, ta phát biểu các kết quả với và các posets hữu hạn thôi.

Gọi là một poset hữu hạn. Ta xét các ma trận kích thước sao cho nếu . Khi thì tùy hỉ. Tập các ma trận này gọi là đại số kề (incident algebra) của , ký hiệu là . Trong đại số kề thì ma trận định nghĩa bằng

là ma trận đơn vị.

Theorem 1 Xét một ma trận tùy ý thì khả nghịch nếu và chỉ nếu .

Proof: Nếu ta vẽ “đồ thị” của bằng cách xem như tập các đỉnh và vẽ một mũi tên từ đến nếu thì ta có một đồ thị có hướng nhưng không có vòng tròn (directed acyclic graph). Do đó, tồn tại một cách liệt kê tất cả các phần tử của từ trái sang phải sao cho tất cả các mũi tên đều trỏ sang phải hoặc trỏ vào chính nó (loop trong đồ thị). Thứ tự này gọi là topological ordering của đồ thị, là một bài tập cơ bản khi học các thuật toán duyệt đồ thị.

Nếu ta viết các ma trận mà các hàng và cột đánh chỉ số theo thứ tự này thì ta có các ma trận tam giác trên (upper-triangular). Do đó khả nghịch nếu và chỉ nếu , nghĩa là các phần tử trên đường chéo khác không.

Một phần tử quan trọng của là , gọi là hàm zeta của , định nghĩa bằng

Theo định lý trên thì có ma trận nghịch đảo, ký hiệu là , gọi là hàm Möbius của . Từ định nghĩa ta có: với bất kỳ thì

Do đó, từ ta suy ra

Đẳng thức (1) suy ra công thức quy nạp để tính :

Từ công thức này ta suy ra giá trị hàm Möbius cho ba posets ở trên. Hai đẳng thức đầu thì dễ (làm bài tập), cái thứ ba thì khó.

1. Nếu là tập tất cả các tập con của (đại số Bool), thì

   

2. Nếu là tập tất cả các ước số của , thì

   

3. Nếu là face-lattice của một đa điện chiều thì

   

Từ đây và (1) ta có công thức Euler:

Đến đây, xét hai hàm số bất kỳ. Ta có thể xem chúng như hai vectors trong không gian . Công thức nghịch đảo Möbius trên poset nói một điều rất đơn giản:

Ta có thể viết rõ ràng hơn một chút vì ta biết và bằng nếu :

Đối ngẫu lại, từ ta có

Áp dụng (4) cho poset , ta có ngay công thức nghịch đảo Möbius trong lý thuyết số ở trên. Còn công thức inclusion-exclusion thì sao? Cách hiểu sau đây sẽ hữu dụng trong nhiều trường hợp. Giả sử ta có một tập “bi ve” . Mỗi viên bi có nhiều màu. Các màu được đánh số từ đến . Gọi là tập các viên bi có màu . Với tùy ý, gọi là tập tất cả các viên bi chỉ có đúng các màu trong mà thôi. Khi đó,

chính là số các viên bi mà mỗi viên có ít nhất các màu trong , và . Do đó,

Áp dụng (3) cho poset ta kết luận

Chuyển sang một vế là ta có công thức IE.

3. Lại bổ đề Sauer

Gọi là một bộ các tập con của . Với bất kỳ, định nghĩa . Ta nói “băm nát” nếu . Gọi là kích thước lớn nhất của một tập bị băm nát. Bổ đề Sauer nói là .

Ta chứng minh bổ đề này bằng “phương pháp chiều” (Đại Số tuyến tính van tuế!). Gọi là tập tất cả các tập con của với kích thước bé hơn hoặc bằng . Với mỗi , định nghĩa một hàm số như sau:

Các hàm là các vectors trong không gian . Có tất cả vectors , do đó nếu chúng độc lập tuyến tính thì . Giả sử chúng không độc lập tuyến tính, nghĩa là tồn tại các hệ số sao cho

và các hệ số này không cùng bằng . Để cho tiện, ta mở rộng định nghĩa và gán với mọi .

Từ (5), với bất kỳ ta có hay nói cách khác với tùy ý ta có Định nghĩa , thì ta vừa thấy rằng .

Gọi là tập con nhỏ nhất của sao cho . (Nếu ta lấy tập có kích thước lớn nhất sao cho thì , do đó tồn tại tập nhỏ nhất như định nghĩa.) Dĩ nhiên . Ta chứng minh rằng bị băm nát, từ đó dẫn đến điều vô lý. Để chứng minh bị băm nát thì ta cần chứng minh, với tùy ý, tồn tại sao cho . Để chứng minh điều này thì chỉ cần chứng minh

là xong, tại vì . Đến đây ta xét poset gồm tất cả các tập con của (đặt ). Poset này là đại số Bool bậc . Với mỗi phần tử , định nghĩa

Và định nghĩa, với mọi ,

(Lưu ý rằng ta sẽ dùng dạng (3) của nghịch đảo Möbius.) Dễ thấy rằng

Do là tập nhỏ nhất với , ta có , và . Theo nghịch đảo Möbius ta có

Có rất nhiều biến thể (tổng quát) của bài toán này. Xem bài báo này chẳng hạn. Cho đồng xu, cái cân, đồng xu giả, có thể biết hoặc không biết trước là nặng hay nhẹ hơn các đồng thật; phép thiết kế chiến lược cân có được “adaptive” hay không, vân vân. Thật ra câu này hỏi bác Văn là thích hợp nhất. Bác Văn có mấy bài báo rất thú vị về các biến thể tổng quát của bài toán cân xu.

Trong khuôn khổ bài viết này, ta chỉ xét một biến thể cổ điển sau:

(Một phiên bản của bài toán tìm xu giả) Cho đồng xu, đồng giả không biết nặng hay nhẹ hơn các đồng thật thế nào, và một cái cân. Tìm số lần cân ít nhất để chỉ ra đồng giả (nếu có) và chỉ ra luôn là nó nặng hay nhẹ hơn các đồng thật.

Câu hỏi này thật ra có hai phần: phần 1 là tìm một chiến lược chỉ ra đồng giả dùng lần cân, và phần 2 là chứng minh rằng lần cân thì không đủ để chỉ ra đồng giả. Ta sẽ tìm liên hệ giữa và . Phần 2 thú vị hơn phần 1, nhưng về cơ bản cũng là chặn thông tin. Do việc tìm chặn thông tin là kỹ thuật rất phổ biến trong thuật toán và lý thuyết tính toán, chúng ta sẽ duyệt qua cả hai phần.

1. Chiến lược cân

Chiến lược này chỉ là phép “chia-để-trị” (divide-and-conquer). Có lẽ là ai nghĩ một lúc rồi thì cũng ra. Bắt đầu từ trường hợp nhỏ, từ đến khoảng là thấy rõ chiến lược ngay. Đại khái, chiến lược cũng giống như trong lời giải cho : chia xu làm ba nhóm gần đều nhau, nếu cân cân bằng thì qui nạp cho nhóm nằm ngoài. Nếu cân không cân bằng thì nhóm nằm ngoài chứa toàn xu tốt, và ta có thể dùng chúng để so sánh với các xu ở trong. Bằng cách hoán đổi một số xu ở trong với nhau, ta lại có thể áp dụng qui nạp lần nữa. Thử với các giá trị nhỏ, ta dễ dàng “conjecture” định lý sau đây:

Định lý: với lần cân thì ta có thể chỉ ra xu giả (nếu có) trong xu nếu

Ngoài ra, ta cũng biết luôn là xu giả nhẹ hay nặng hơn các xu thật.

Chứng minh. Có thể giả sử , và . Tại vì nếu thì giả thiết qui nạp cho ta biết lần cân là xong. Ta chia đống xu thành ba nhóm. Hai nhóm đặt lên hai đĩa cân mỗi nhóm có kích thước bằng . (Nếu thì định nghĩa .) Con số này được chọn để cho chúng ta có thể áp dụng giả thiết qui nạp trên mỗi nhóm. Nhóm nằm ngoài cân có xu. Dễ thấy rằng

và .

Nếu cân thăng bằng thì ta áp dụng giả thiết qui nạp cho nhóm nằm ngoài. Xong!

Nếu cân không thăng bằng thì bây giờ ta có hai nhóm xu: nhóm đen là nhóm bên nặng hơn có xu, nhóm trắng là nhóm bên nhẹ hơn có xu. Nhớ rằng . Ngoài ra, chúng ta còn có ít nhất một đồng xu thật ở ngoài để làm “neo”. Ta chứng minh kết quả tổng quát hơn sau đây, và bổ đề này sẽ hoàn tất chứng minh định lý trên.

Bổ đề. Giả sử ta có hai nhóm xu, nhóm thứ nhất gọi là “nhóm đen” có xu và có thể bao gồm một xu giả nặng hơn xu thật. Nhóm thứ hai gọi là “nhóm trắng” có xu và có thể bao gồm một đồng xu giả nhẹ hơn xu thật. Ngoài ra ta còn có một xu thật làm “neo” ở ngoài hai nhóm. Ta biết rằng chỉ có một xu giả trong cả hai nhóm, và . Ta có thể cân lần để chỉ ra xu giả.

Chứng minh. Lại qui nạp. Thứ nhất, nếu hoặc thì chứng minh bài toán không khó gì. Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán tìm xu giả khi mà ta biết là xu giả nặng hơn hoặc nhẹ hơn xu thật. (Bài tập.) Do đó có thể giả sử . Các trường hợp cũng tầm thường, nên ta giả sử .

Nếu thì ta áp dụng giả thiết qui nạp.

Xét . Đặt . Khi đó ta có

và .

Đặt lên hai đĩa, mỗi đia xu, sao cho số xu đen trên hai đĩa bằng nhau và số xu trắng trên hai đĩa bằng nhau. (Bài tập tại sao luôn làm được điều này?)

Nếu cân thăng bằng thi áp dụng giả thiết qui nạp cho đám xu nằm ngoài cân.

Giả sử bên trái nhẹ hơn thì xu giả nằm trong đám xu trắng bên trái hoặc trong đám xu đen bên phải. Áp dụng qui nạp. Xong!

2. Chặn thông tin

Ta chứng minh rằng, nếu lần cân là đủ thì . Mỗi một lần cân cho ra một trong ba kết quả: đĩa trái nặng hơn, đĩa phải nặng hơn, hoặc nặng bằng nhau. Có tất cả lần cân; vì thế, tổng số kết quả có thể có là . Tổng số chọn lựa trạng thái mà ta cần xác định là (mỗi xu đều có thể giả, và nặng hoặc nhẹ hơn xu thật, hoặc không có xu giả nào). Do đó, . Cái chặn này còn yếu một xíu, nhưng nó cho ta thấy ý tưởng chính.

Bây giờ giả sử lần cân thứ nhất có xu trên mỗi đĩa cân. Nếu cân thăng bằng thì trong lần cân còn lại ta cần phân biệt trạng thái. Do đó . Nếu cân không thăng bằng thì nhóm ngoài là nhóm xu thật, ta cần phân biệt trạng thái vì nhóm trong có xu giả. Do đó . Nhưng là chẵn nên . Ta kết luận rằng

6.1. Ý tưởng của Kautz-Singleton

Hồi 1964, Kautz và Singleton đề xuất cách xây dựng ma trận -phân-cách dựa trên hai ý tưởng chính. Thứ nhất là nếu các cột của ma trận có “cân nặng” (số số trên cột) đủ lớn và nếu hai cột bất kỳ có phần giao đủ nhỏ thì ma trận sẽ là ma trận phân cách. Thứ hai là ta có thể dùng phương pháp nối mã (code concatenation) để xây dựng một ma trận thỏa tính chất thứ nhất. Chúng ta thảo luận ý tưởng của Kautz-Singleton trước, sau đó chỉ ra cách dùng ý tưởng này và một ý mới để xây dựng ma trận phân cách giải mã nhanh được.

Bổ đề 1 Gọi là một ma trận nhị phân mà mỗi cột có cân nặng ít nhất là , và phần giao của hai cột bất kỳ (các số chung của hai cột) có lực lượng nhiều nhất là . Thì, là ma trận -phân-cách với bất kỳ nào thỏa mãn . Cụ thể là sẽ là ma trận -phân-cách.

Bổ đề này dễ chứng minh. Ta nói tiếp ý tưởng thứ hai. Trước hết hãy định nghĩa phép nối mã.

Gọi là một mã , nghĩa là một ánh xạ từ vào , trong đó . (Phép nối mã có thể định nghĩa tổng quát hơn, nhưng ta không cần điều đó.) Như vậy, mỗi ký tự mã của là một thành viên của tập gồm phần tử, và vì thế cũng có thể xem như một thành viên của tập . Mỗi một từ mã của có vị trí. Mã sẽ được gọi là mã ngoài (outer code).

Đến đây, xét mã ký hiệu là . Tức là, với mọi thì là một ánh xạ . Các mã được gọi là các mã trong.

Mã nối của mã ngoài và các mã trong, ký hiệu là , là một mã được định nghĩa tự nhiên như sau. Cho một thông điệp , gọi . Chú ý rằng . Thì

Nói cách khác, mỗi ký tự của một mã tự ngoài được thay bằng mã tự trong tương ứng. Một mã trong đơn giản nhất là mã đơn vị , trong đó mỗi thành viên của được ánh xạ 1-1 đến một vector đơn vị khác nhau của .

Bây giờ, xét là mã RS với các tham số , và tất cả các mã trong đều là mã đơn vị . Đặt các từ mã của mã nối vào các cột của một ma trận . Ma trận này có kích thước . Mỗi cột của ma trận có cân nặng bằng đúng . Khoảng cách Hamming giữa hai cột khác nhau ít nhất là , do đó phần chung giữa hai cột có kích thước nhiều nhất là . Vì thế, theo bổ đề 1 thì là ma trận -phân-cách với

Ngược lại, nếu ta bắt đầu với và thì ta có thể xây dựng một ma trận -phân-cách theo cách trên miễn là ta chọn các tham số sao cho , . Ta sẽ đạt được tổng số hàng

Do mã RS phải thỏa điều kiện , ta phải có nữa. Để có càng nhỏ càng tốt, có thể chọn nghĩa là . Khi đó . Rõ ràng là như mong đợi, và tổng số hàng của ma trận này là . Cuối cùng, phép xây dựng này chỉ có lý khi ; điều này được thỏa mãn khi cỡ trở xuống. Chặn Bassalygo cho phép ta giả sử vùng giá trị đó của .

6.2. Cải tiến ý tưởng của Kautz-Singleton

Có hai vấn đề với phép xây dựng của Kautz-Singleton. Vấn đề thứ nhất là ta vẫn không biết cách nào để giải mã hiệu quả. Vấn đề thứ hai là số hàng của ma trận vẫn còn quá lớn so với phép xây dựng ngẫu nhiên .

Chúng ta phác thảo một ý tưởng để giải quyết vấn đề thứ nhất. Nếu dùng thuật toán giải mã ngây thơ thì tốn thời gian , quá lớn. Nếu ta có cách nào đó chỉ ra nhanh chóng một tập cột, bao gồm cả các cột dương tính, rồi chạy thuật toán ngây thơ thì tốn thời gian chỉ ra cột nọ cộng với khoảng nữa mà thôi. Có thể nào tận dụng được các tính chất của mã RS không? Hãy xét vector kết quả , trong đó . Mỗi là vector đặc trưng của một tập , và do chỉ có nhiều nhất cột dương tính, ta biết . Hơn thế nữa, xét một cột dương tính bất kỳ thì hiển nhiên . (Nhớ rằng là một vector đơn vị trong , và vì thế có thể được đánh đồng với phần tử tương ứng trong .) Đến đây thì định lý Guruswami-Sudan cho biết là tồn tại một thuật toán in ra tất cả các cột thỏa tính chất trên, nghĩa là bao gồm tất cả các cột dương tính, trong thời gian poly poly. Và, mã RS đảm bảo rằng có nhiều nhất cột như vậy. Từ đó, thuật toán ngây thơ chỉ cần thêm nữa thôi.

Kế đến, ta phác thảo một ý tưởng giải quyết vấn đề thứ hai. Lý do mà phép xây dựng của Kautz-Singleton cần lớn là vì ta thay mỗi ký tự trong bằng một vector nhị phân với chiều dài . Có mã trong nào cần chiều dài ngắn hơn mà vẫn giữ thuật toán chạy đúng hay không? Ta cần tính chất gì từ mã trong? Điều ta cần là, từ một vector kết quả con , ta có thể chỉ ra tập các ký tự có thể dẫn đến kết quả một cách nhanh chóng. Và, kích thước của phải nhỏ thôi để nhỏ. Nhớ rằng trong định lý Guruswami-Sudan thì thời gian chạy là poly và nếu với mọi . Như vậy, một ý tưởng rất tự nhiên là tìm một ma trận -phân-cách với hàng và cột. Sau đó, thay mỗi ký tự trong bằng cột tương ứng. Khi đó, từ vector kết quả ta có thể chỉ ra một tập nhiều nhất cột, dùng cách giải mã ngây thơ chẳng hạn. Ngoài ra, vẫn phải đảm bảo là ma trận là -phân-cách để có thể chạy thuật toán ngây thơ một lần nữa trong thời gian .

Trước hết, thời gian chạy của thuật toán là , vẫn chấp nhận được vì với như trước thì thời gian chạy là poly poly. Kế đến, hãy bỏ qua yêu cầu rằng là -phân-cách để xem ý tưởng này cho ra ma trận có kích thước cỡ nào. Ta biết rằng chỉ cần cỡ . Do đó, . Và cho dù có số hàng tốt nhất có thể có là thì cũng phải là . Vì thế, để đạt đến ngưỡng thì chúng ta phải giảm nhẹ một yêu cầu nào đó.

Cho đến đây, chúng ta vẫn dùng định lý (và thuật toán) Guruswami-Sudan với . Nếu ta giảm yêu cầu xuống còn hay thậm chí thì và do đó vẫn đủ nhỏ để đảm bảo giải mã nhanh. Phân tích này cho thấy ta không cần là một ma trận -phân-cách, mà chỉ cần nó là một ma trận mà, cho vector kết quả , ta có thể chỉ ra cột bao gồm tất cả các cột dương tính là được. Đó là động cơ của định nghĩa ma trận -phân cách danh sách dưới đây. Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại ma trận -phân-cách danh sách chỉ với hàng mà thôi. Từ đó ta sẽ có như mong đợi.

Cuối cùng, yêu cầu rằng bản thân là -phân-cách sẽ được giải quyết bằng một ý tưởng kỹ thuật khác. Chúng ta sẽ chọn các mã trong một cách ngẫu nhiên sao cho mỗi có tính chất -phân cách danh sách. Với xác suất gần , ma trận sẽ là -phân cách. Để xây dựng cụ thể, ta có thể phản ngẫu nhiên hóa phép xây dựng này bằng phương pháp kỳ vọng có điều kiện (conditional expectation method).

Chúng ta đã phác thảo toàn bộ ý tưởng chính của bài báo mới đây của Indyk-Ngo-Rudra ở hội nghị SODA 2010. Phần tới đi vào chi tiết kỹ thuật của các ý tưởng trên.

6.3. Xây dựng ma trận -phân-cách giải mã nhanh

Định nghĩa 2 (Ma trận -phân-cách danh sách) Một ma trận nhị phân kích thước được gọi là một ma trận -phân cách danh sách (list disjunct matrix) nếu nó thỏa tính chất sau đây. Lấy một tập có nhiều nhất là cột của , và một tập , không giao với , với ít nhất là cột của , thì có ít nhất một hàng mà một cột nào đó trong chứa số còn tất cả các cột khác trong chứa số .

Chú ý rằng ma trận -phân cách là ma trận -phân-cách danh sách. Giả sử ta dùng ma trận -phân-cách danh sách để thiết kế phép thử nhóm bất ứng biến với nhiều nhất là mẫu dương tính, sau đó dùng phép giải mã ngây thơ để chỉ ra một tập các cột. Dễ thấy rằng chứa tất cả các mẫu dương tính vì phép giải mã ngây thơ không bao giờ loại bỏ một cột dương tính cả. Quan trọng hơn, ta có vì nếu thì chứa tập của nhiều nhất mẫu dương tính và một tập không giao với của ít nhất mẫu âm tính. Khi đó, phải có một cột của bị loại bởi phép giải mã ngây thơ. Do đó, nếu ta dùng các ma trận -phân cách danh sách làm các mã trong như trong phép xây dựng của Kautz-Singleton thì từ vector kết quả ta có thể chỉ ra, với mỗi , một tập với nhiều nhất các ký tự trong sao cho, với một mẫu dương tính bất kỳ thì . Đây là phân tích ta đã giải thích trong phần trước.

Vì thế, nếu ta có thể xây dựng được các ma trận -phân cách danh sách dùng làm mã trong với kích thước , và nếu ma trận ngoài là một ma trận -phân cách, thì ta có thể giải mã trong thời gian

Ta sẽ chọn các tham số sao cho thời gian này là poly, và sao cho .

Trước hết, hãy nói sơ lược về cách xây dựng một ma trận -phân cách danh sách. Chú ý rằng, trong định nghĩa của ma trận phân cách danh sách, ta có thể giả sử , và . Ta lại dùng phương pháp xác suất: chọn các ô trong ma trận bằng với xác suất và bằng với xác suất . Xác suất mà hai tập và cho trước không thỏa tính chất phân cách danh sách là

Do đó, xác suất mà một ma trận ngẫu nhiên không phải là ma trận -phân cách danh sách nhiều nhất là

Ta cần chọn sao cho xác suất này nhỏ hơn và càng nhỏ càng tốt. Để xác suất này nhỏ nhất, chọn .

nếu . Vì thế, nếu ta dùng các ma trận -phân-cách danh sách làm các mã trong thì có thể giả sử chúng có kích thước trong đó .

Tiếc rằng ta cần một điều kiện mạnh hơn khá nhiều: tất cả các mã trong đều là phân cách danh sách cùng một lúc, và ma trận ngoài là -phân cách. Do đó ta phải chọn cách tham số cẩn thận hơn. Và ép xác suất của các sự kiện không mong muốn cùng một lúc.

Định lý 3 Gọi là các số nguyên dương bất kỳ sao cho . Định nghĩa , , , và . (Lưu ý rằng và .)

Gọi là mã RS với các tham số . Thì, tồn tại các mã trong sao cho mỗi mã trong là một mã và cả hai điều kiện sau đây được thỏa mãn

1. (a) Đặt , thì là một ma trận -phân cách.
2. (b) Với mọi , là ma trận -phân cách danh sách.

Trước khi chứng minh định lý trên, ta chứng minh kết quả chính của loạt bài này, là hệ quả của định lý.

Hệ quả 4 Cho là các số nguyên bất kỳ. Ta có thể xây dựng được ma trận -phân cách với giải mã được trong thời gian .

Chứng minh: Để đơn giản, hãy quên đi việc các tham số là số nguyên. Trước hết, giả sử . Đặt và . Khi đó . Định lý 3 và Bổ đề 1 hoàn tất chứng minh dễ dàng.

Khi ta có thể bỏ đi cột tùy ý khỏi một ma trận -phân cách giải mã nhanh được.

6.4. Chứng minh Định lý 3

Ta chọn các mã trong một cách ngẫu nhiên, và độc lập với nhau. Gọi các mã trong là , và ma trận tương ứng là . Với mỗi , chọn là ma trận nhị phân với kích thước một cách ngẫu nhiên bằng cách gán mỗi ô giá trị với xác suất . Tất cả các ô được chọn độc lập.

Trước hết, ta chặn xác suất mà điều kiện (a) thỏa, nghĩa là là ma trận -phân cách. Để cho tiện, viết và .

Theo Bổ đề 1, là ma trận -phân cách nếu hai sự kiện sau đây cùng đúng:

• (i) Mỗi cột có cân nặng ít nhất .
• (ii) Hai cột bất kỳ có phần giao kích thước nhiều nhất là

Xét sự kiện (i) trước. Một cột bất kỳ của đều là một vector ngẫu nhiên trong mà mỗi vị trí được gán bằng với xác suất . Do đó, chặn Chernoff cho ta biết xác suất mà một cột của có cân nặng nhỏ hơn . Có tất thảy cột, do đó xác suất mà một cột nào đó có cân nặng nhỏ hơn . (Nhớ rằng .)

Xét sự kiện (ii). Xét hai cột tùy hỉ . Do mã ngoài là mã RS với khoảng cách tương đối ít nhất là , mã từ thứ và thứ trong phải bất đồng ở một tập các vị trí nào đó thỏa . Gọi và là hạn chế của cột thứ của trên các vị trí trong và , theo thứ tự. Tương tự, gọi và là các hạn chế tương ứng của cột . Chúng ta cần chặn biến ngẫu nhiên .

Hãy bắt đầu với . Theo định nghĩa của và , chẳng qua là một vector mà mỗi tọa độ được gán bằng độc lập nhau với xác suất . Vì thế, chặn Chernoff suy ra

Kế đến, ta chặn . Chú ý rằng và là một vector ngẫu nhiên trong mà mỗi tọa độ được chọn độc lập bằng với xác suất . Một lần nữa, Chernoff cho ta biết xác suất mà nhiều nhất là .

Từ đó, xác suất mà ít nhất là . Do có tất thảy chọn lựa cho và , ta kết luận rằng điều kiện (ii) không thỏa với xác suất nhỏ hơn . Tổng kết lại thì điều kiện (a) không thỏa với xác suất nhỏ hơn .

Bây giờ, ta chặn xác suất mà điều kiện (b) thỏa. Chúng ta sẽ chứng minh rằng, với mọi , không là ma trận -phân cách danh sách với xác suất nhỏ hơn . Từ đó, dùng , ta kết luận rằng điều kiện (b) không thỏa với xác suất nhỏ hơn . Như vậy, với xác suất ít nhất cả hai tính chất (a) và (b) đều thỏa. Và vì thế, định lý được chứng minh xong.

Phần còn lại là chặn xác suất mà không là ma trận -phân cách danh sách. Ta dùng phương pháp như đã dùng trong mục 6.3.; xác suất mà một nào đó không là ma trận -phân cách danh sách sẽ nhỏ hơn

trong đó bất đẳng thức cuối cùng đúng là do .

Một điểm cuối cùng cần lưu ý là ta có thể phản ngẫu nhiên hóa bằng phương pháp kỳ vọng có điều kiện để xây dựng cụ thể ma trận luôn mà không cần chọn nó một cách ngẫu nhiên. Kết quả này đơn giản nhưng lắt nhắt về mặt chi tiết.

]]> http://www.procul.org/blog/2010/01/29/gt-6-th%e1%bb%ad-nhom-b%e1%ba%a5t-%e1%bb%a9ng-bi%e1%ba%bfn-gi%e1%ba%a3i-ma-nhanh/feed/ 2 http://www.procul.org/blog/2010/01/26/gt-5-s%c6%a1-l%c6%b0%e1%bb%a3c-ly-thuy%e1%ba%bft-ma-hoa/ http://www.procul.org/blog/2010/01/26/gt-5-s%c6%a1-l%c6%b0%e1%bb%a3c-ly-thuy%e1%ba%bft-ma-hoa/#comments Tue, 26 Jan 2010 23:53:34 +0000 NQH http://www.procul.org/blog/?p=1921

5. Sơ lược lý thuyết mã hóa

Claude Shannon là cha đẻ của lý thuyết thông tin và lý thuyết mã hóa. Sẽ không có truyền thông hiện đại nếu không có Shannon. Nhà toán học lỗi lạc Kolmogorov từng nói về Shannon như sau: “Trong thời buổi mà kiến thức nhân loại càng lúc càng đuợc chuyên môn hóa, Claude Shannon là một nhà khoa học ngoại lệ. Shannon kết hợp các ý tưởng toán học sâu sắc với các hiểu biết rộng và cụ thể của các vấn đề quan trọng bậc nhất của công nghệ. Shannon là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất đồng thời là một trong những kỹ sư giỏi nhất trong vài thập niên qua”. Nếu câu nói đó được phát biểu lúc này, thì phải thay “vài thập niên qua” bằng “thế kỷ 20″. Bài này duyệt qua một số kiến thức cơ bản về lý thuyết mã hóa cần cho thử nhóm.

5.1. Ý tưởng của Shannon (và Hamming)

Ý tưởng chính của lý thuyết mã hóa là thêm thông tin vào từng thông điệp trước khi gửi đi để bên nhận có thể tự phát hiện lỗi hoặc thậm chí tự sửa lỗi xảy ra trên đường truyền. Hai tham số chính của một mã là tỉ lệ (rate) của thông tin nguyên thủy trên thông tin gửi đi, và khả năng chịu đựng lỗi — số lỗi tối đa mà mã có thể dùng để kiểm tra hoặc sửa lỗi.

Cụ thể hơn, giả sử ta làm việc trên an-pha-bê . Trong truyền thông số thì thông thường với số tự nhiên nào đó vì thường chỉ có 2 bits và . Trong lý thuyết mã hóa thì có thể tổng quát hơn, là một trường chẳng hạn. Chuyển từ an-pha-bê sang an-pha-bê nhị phân không khó khăn gì. Nhưng ta cứ xét một an-pha-bê tổng quát trước đã. Giả sử mỗi thông điệp gửi đi có chiều dài , nghĩa là mỗi thông điệp gửi đi là một vector trong . Thay vì gửi một thông điệp , ta gửi là ảnh của dưới ánh xạ mã hóa . Chúng ta cần chứa nhiều thông tin hơn , để cho bên nhận — dù có nhận một bản bị lỗi của — thì vẫn có thể hồi phục lại . Do đó .

Tập tất cả các ảnh của được gọi là mã sửa lỗi (error-correcting code, hoặc ECC cho gọn). Tỉ lệ là tỉ lệ của mã, là số chiều của mã, và là độ dài mã (block length). Mỗi thành viên của được gọi là một mã tự (codeword). Khoảng cách (distance) của mã là khoảng cách Hamming nhỏ nhất giữa hai mã tự. Cụ thể hơn, gọi là khoảng cách Hamming giữa hai vectors trong , thì

Còn khoảng cách tương đối của mã là

Nếu thì ta gọi là mã . Và nếu cụ thể hơn ta biết thì ta gọi mã .

Mục đích chính của một mã là làm sao cho bên nhận có thể xây dựng lại mã tự đã được gửi, cho dù đường truyền có thay đổi vài vị trí của vector . Ví dụ, , thì mỗi là một vị trí của .

Yêu cầu cơ bản nhất là giải mã duy nhất (unique decoding): bộ giải mã phải giải mã ra được đúng mã tự đã gửi, hoặc báo rằng không giải mã được. Giả sử có tổng cộng vị trí của bị lỗi. (Ví dụ, nếu là vector nhị phân thì là tổng số bits bị lỗi; Và, là tỉ lệ tổng số bits lỗi trên tổng số bits gửi.) Câu hỏi chính là: mã của chúng ta có thể “chịu đựng” được lớn cỡ nào? Chặn thông tin (information theoretic bound) dễ dàng cho ta biết , do đó

Đến đây ta đã thấy trade-off (tiếng Việt là gì?) chính giữa tỉ lệ của một mã và độ chịu đựng lỗi của nó. Chúng ta muốn tỉ lệ gần với vì như vậy ta tốn ít băng thông thừa; nhưng khi gần với thì độ chịu lỗi tiến đến . Ngoài ra, nếu bên nhận nhận được một vector nằm ngay giữa hai mã tự thì không biết giải mã thành từ nào. Do đó, nếu ta cố chấp yêu cầu mã phải có tính giải mã duy nhất thì độ chịu đựng lỗi còn bị ép xuống nữa:

Chặn Singleton nói rằng , do đó . Điều này cho thấy ép buộc tính chất giải mã duy nhất đẩy chúng ta ra rất xa chặn thông tin (1). Nói cách khác, để luôn luôn giải mã duy nhất được thì chúng ta phí rất nhiều băng thông, chí ít là gấp đôi cần thiết.

5.2. Mã giải theo danh sách

Cuối thập niên 1950, Elias và Wozencraft đề xuất một giải pháp gọi là giải mã danh sách (list-decoding) rất đơn giản và thú vị. Ý tưởng chính như sau. Cái chặn là do các điểm tiếp xúc giữa các quả cầu Hamming bán kính với tâm là các mã tự. Nhưng trong toàn bộ không gian thì các điểm tiếp xúc này chiếm một lượng cực kỳ nhỏ. Nếu ta xét các điểm không nằm trong các quả cầu Hamming này, thì đa số chúng đều gần một mã tự nào đó hơn tất cả các mã tự khác, mặc dù khoảng cách từ một điểm đến mã tự gần nhất có thể xa hơn nhiều.

Vì thế, nếu chúng ta dùng phép giải mã cự ly ngắn nhất (minimum distance decoding) thì chúng ta có thể chịu đựng được tỉ lệ lỗi lớn hơn nhiều, miễn là vector nhận được không nằm trong xóm nhà lá gần điểm tiếp xúc giữa hai quả cầu Hamming nào đó. Tiếc rằng giải mã cự ly ngắn nhất là một bài toán không khả thi và thậm chí không xấp xỉ được trong một tỉ lệ tốt.

Elias-Wozencraft đề xuất là, với tỉ lệ lỗi cho trước (nghĩa là giả sử có nhiều nhất lỗi), thì thuật toán giải mã đưa ra một danh sách các mã tự trong bán kính của vector nhận. Nếu thật sự là tổng số lỗi lớn nhất có thể có, thì mã tự được gửi chắc chắn nằm trong danh sách này. Ngoài ra, nếu mã giải theo danh sách (list-decodable code) này được thiết kế tốt thì danh sách này thường là chỉ có một mã tự trong đó và vì thế giải mã là duy nhất với đa số các vectors được nhận. Khác với giải mã cự ly ngắn, giải mã danh sách lại là bài toán khả thi về mặt tính toán, và thậm chí chúng ta có thể đạt gần sát chặn thông tin (1). Đây là một nhánh nghiên cứu rất quan trọng trong chục năm đổ lại đây. Ngoài ứng dụng trong lý thuyết mã hóa thì còn ứng dụng trong lý thuyết độ phức tạp, thử thuộc tính (property testing), và các PCP. Xem thêm survey của Madhu Sudan và luận án của Venkat Guruswami (luận án được giải luận án xuất sắc nhất của ACM năm 2002). Hai bài báo của Parvaresh-Vardy và của Guruswami-Rudra là các phát triển (rất mạnh) gần đây nhất về giải mã danh sách.

5.2. Mã hồi phục danh sách

Trong ngữ cảnh của thử nhóm thì chúng ta lại cần một tổng quát hóa của khái niệm mã giải theo danh sách gọi là mã hồi phục danh sách (list-recoverable codes), do Guruswami và Indyk đề xuất ở FOCS 2001.

Định nghĩa 1 (Mã hồi phục danh sách) Cố định . Gọi là các số nguyên dương. Một mã được gọi là mã hồi phục danh sách với các tham số nếu nó thỏa tính chất sau đây. Cho tập hợp bất kỳ các ký tự, nghĩa là , trong đó . Tồn tại nhiều nhất là các mã tự thỏa mãn với ít nhất các vị trí .

Mã giải theo danh sách chính là mã hồi phục danh sách với . Khi thì bộ đại diện cho vector mà bên nhận nhận được, là tỉ lệ các vị trí bị lỗi, và số nhiều nhất các mã tự nằm trong quả cầu Hamming với bán kính có tâm là vector nhận.

Để đơn giản hóa thảo luận ở đây, ta sẽ chỉ dùng một trường hợp đặc biệt của kết quả của Parvaresh-Vardy. Trường hợp đặc biệt này đã được chứng minh trong bài báo của Guruswami-Sudan hồi 1999, áp dụng cho bộ mã lừng danh Reed-Solomon. Do đó trước hết hãy định nghĩa bộ mã RS.

Ở trên ta định nghĩa một bộ mã là một tập con của . Một loại mã rất quan trọng trong thực tế là mã tuyến tính, khi đó là một trường hữu hạn, là một lũy thừa của một số nguyên tố, và là một không gian con tuyến tính của . Sở dĩ ta cần tuyến tính trên thực tế vì ta có thể tận dụng tính tuyến tính của để mã hóa và giải mã nhanh với các phép biến đổi tuyến tính thông thường. Một mã tuyến tính với độ dài , số chiều , trên trường sẽ được ký hiệu là mã . Nếu khoảng cách Hamming giữa hai mã tự bất kỳ ít nhất là , thì ta gọi mã này là mã .

Bộ mã Reed-Solomon (RS) là một bộ mã với , định nghĩa như sau. Mỗi một thông điệp có thể xem như một đa thức bậc trên vành :

Mã RS là một ánh xạ định nghĩa như sau. Cố định phần tử khác nhau . (Đây là lý do tại sao ta cần .) Định nghĩa:

Một đa thức bậc có nhiều nhất nghiệm trên trường bất kỳ. Do đó hai đa thức khác nhau chỉ có thể trùng giá trị ở nhiều nhất là điểm . Vì thế, mã RS có khoảng cách ít nhất là . Vì thế, mã RS là một mã . (Sự tuyến tính của RS là hiển nhiên.) Mã RS đạt đến chặn Singleton, và vì thế còn được gọi là một mã phân ly khoảng cách tối đa (maximum distance separable code). Mã RS có rất nhiều ứng dụng trên thực tế vì có các thuộc tính đại số dễ mến. Các ứng dụng bao gồm các mã trên CDs, DVDs, truyền thông trên cáp, không gian, vân vân.

Điểm thú vị là mã RS cũng là một mã hồi phục danh sách tốt. Chúng ta sẽ chỉ phát biểu định lý sau đây với là một lũy thừa của , mặc dù định lý đúng cho bất kỳ lũy thừa nguyên tố nào. Đại khái, định lý nói rằng RS là một mã hồi phục danh sách với các tham số mà thời gian giải mã là poly.

Định lý 2 (Guruswami-Sudan) Xét là một số nguyên dương bất kỳ, là một lũy thừa tùy ý của thỏa , và . Thì, tồn tại một thuật toán thỏa tính chất sau đây. Cho tập con bất kỳ với . Thuật toán sẽ in ra tất cả các mã tự của mã RS thỏa tính chất . Ngoài ra, luôn luôn có nhiều nhất các mã tự như vậy, và thuật toán chạy trong thời gian poly.

5.3. Thêm về mã Reed-Solomon

Mã RS có vài tính chất quan trọng mà chúng ta sẽ dùng vào việc thiết kế thuật toán thử nhóm giải mã nhanh. Trong giới hạn bài này, ta sẽ không chứng minh định lý Guruswami-Sudan mà chỉ dùng nó như một “hộp đen”. Đó là phần giải mã. Còn phần mã hóa thì ta cũng cần mã hóa nhanh và sẽ thảo luận một chút về nó.

Nhớ rằng mỗi mã từ của mã RS có thể viết dưới dạng

trong đó

và

Do đó, nếu ta định nghĩa ma trận sinh như sau

thì ta có

Ma trận còn được gọi là ma trận Vandemonde, có nhiều tính chất thú vị và ứng dụng khắp mọi nơi, bao gồm trong biến đổi Fourier. Mỗi mã từ được “đánh chỉ số” bằng một vector . Có tổng cộng mã từ, và tính mã từ từ một vector chỉ số chỉ tốn thời gian poly. Cũng nhớ rằng mã RS là một mã tuyến tính . Do đó, khoảng cách tương đối của mã là .

Leonid Bassalygo là một học trò giỏi của người khổng lồ Kolmogorov. Từ những năm 1970, ông đã có nhiều đóng góp cơ bản trong lý thuyết thông tin, lý thuyết mã hóa, và lý thuyết các mạng chuyển mạch (switching networks). Có nhiều định lý và chặn mang tên ông. Ví dụ như chặn Elias-Bassalygo. Hiện nay ông là tổng biên tập tờ Problems in Information Transmission. Tạp chí tiếng Nga này có nội dung và tầm tương tự như tạp chí IEEE Transactions on Information Theory. Bài này sẽ thảo luận một chặn của Bassalygo cho đại lượng , số hàng nhỏ nhất của một ma trận -phân-cách với cột.

Xét một ma trận -phân-cách với hàng và cột. Nhớ rằng mỗi cột của ma trận có thể được đánh đồng với tập con của tập . Bộ gồm tập hợp này thỏa tính chất sau đây: lấy tập bất kỳ thì ta luôn có . Tính chất này tiếng Anh gọi là tính chất -cover-free của bộ tập hợp . (Dịch “-cover-free” sang tiếng Việt thế nào nhỉ?) Hơn nữa, xét một tập bất kỳ với lực lượng , thì phải chứa một phần tử mà không tập nào khác có. Tại vì, nếu mỗi phần tử của đều thuộc một tập khác thì sẽ nằm trong hội của nhiều nhất tập khác, mẫu thuẫn với tính chất -phân-cách. Phần tử chỉ riêng có gọi là phần tử riêng của . Tổng quát hơn, một tập con chỉ chứa trong gọi là một tập con riêng của .

Do chỉ có tổng cộng phần tử, sẽ chỉ có nhiều nhất là phần tử riêng, và vì thế nhiều nhất là thành viên của với lực lượng . Cụ thể hơn, gọi là số tập với lực lượng , thì ta có

Lại xét một tập với lực lượng . Nếu ta xóa khỏi tất cả các hàng tương ứng với phần tử của và xóa luôn cả cột thì ta còn một ma trận với hàng và cột. Ma trận này phải có tính chất -phân-cách. Do đó,

Từ hai bất đẳng thức (1) và (2) chúng ta dễ dàng chứng minh chặn Bassalygo, chặn dưới cơ bản nhất cho .

Định lý 1 (Chặn Bassalygo) Gọi là số hàng nhỏ nhất của một ma trận -phân-cách với cột, ta có

Như vậy, nếu quá lớn (thỏa ) thì thử nhóm không tốt hơn thử từng mẫu đơn lẻ một.

Chứng minh: Ta chứng minh (3) bằng qui nạp theo . Nhớ rằng . Dễ thấy rằng . Gọi là lực lượng lớn nhất trong tập của . Nếu thì bất đẳng thức (1) cho

Nếu thì từ bất đẳng thức (2) và giả thiết quy nạp ta có

Có một cách hơi khác để chứng minh chặn Bassalygo, từ một bài báo quan trọng hồi 1985 của Erdős-Frankl-Füredi.

Cố định một số nguyên dương . Trong họ gồm tập hợp, gọi là tập tất cả cả tập trong có một tập con riêng gồm phần tử. Nghĩa là bao gồm tất cả các thành viên của sao cho chứa một tập con với lực lượng và không có bất kỳ thành viên nào khác của chứa .

Bổ đề 2 (Bổ đề Erdős-Frankl-Füredi) Nếu và thì

Do đó, nếu có tập khác nhau thì

Bài tập 1 Chứng minh bổ đề Erdős-Frankl-Füredi. Gợi ý: để chứng minh phần “do đó”, dùng đẳng thức sau đây

Từ bổ để Erdős-Frankl-Füredi, chúng ta chứng minh chặn Bassalygo như sau. Nếu chứa một tập với một phần tử riêng nào đó, thì — sau khi xóa hàng và cột ra khỏi — ma trận kết quả cho ta một bộ tập hợp vẫn thỏa tính chất -cover-free. Theo quy nạp

(Trường hợp cơ bản của phép qui nạp là khi , hiển nhiên đúng. Do đó ta xét .) Nếu không tồn tại tập hợp có phần tử riêng, nghĩa là thì theo bổ đề Erdős-Frankl-Füredi, xét tập ta có

Không những thế, bổ đề Erdős-Frankl-Füredi còn giúp chúng ta chứng minh chặn dưới tốt nhất hiện có cho hàm là . Nhưng trước hết, ta chứng minh một bổ đề cổ điển của Sperner.

Bổ đề 3 (Bổ đề Sperner) Có nhiều nhất các tập con của sao cho không có tập con nào chứa tập con nào. (Họ tập con như vậy gọi là một phản-chuỗi (anti-chain) của Boolean lattice tương ứng với .)

Chứng minh: Ta dùng phương pháp định trị một đại lượng bằng hai cách. (Cái mẹo đếm chuỗi sau đây rất phổ dụng trong extremal set theory, xem thêm hai quyển Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability và Sperner Theory.) Gọi là một họ phản chuỗi của . Xét một chuỗi tập hợp trong đó , , và . Có tổng cộng chuỗi như thế. Không có hai thành viên của nằm trong cùng chuỗi. Một thành viên với nằm trong chuỗi. Do đó

Suy ra

Mà với mọi thì . Ta kết luận rằng

Định lý 4 (Định lý Erdős-Frankl-Füredi) Gọi là một họ -cover-free bất kỳ gồm thành viên trên tập . Khi ta có

Nếu ta có

Chứng minh: Trường hợp chính là nội dung bổ đề Sperner. Xét . Cố định . Xét bộ tập hợp , và như trên. Gọi là bộ tất cả các tập trong với lực lượng nhỏ hơn hẳn . Để chứng minh định lý này, ta chứng minh hai bất đẳng thức sau đây là đủ:

và

Gọi là bộ các tập con riêng với lực lượng của các thành viên trong . Gọi là bộ các tập con của thỏa tính chất sau: mỗi tập có lực lượng , và chứa một thành viên nào đó của . Dễ thấy và không giao nhau, , và . Do đó, nếu ta chứng minh được rằng thì (4) đúng. Để chứng minh điều này, ta lại dùng mẹo đếm chuỗi trong chứng minh bổ để Sperner.

Xét một chuỗi tập hợp trong đó , , và . Do tính -cover-free, không thể có hai thành viên của nằm trong cùng một chuỗi như vậy. Ngoài ra, xét tùy ý, , thì tổng số chuỗi chứa là . Mỗi chuỗi chứa đều phải kết thúc bằng một thành viên của . Tổng số chuỗi kết thúc bằng một thành viên cụ thể của là . Do đó,

Do , ta có , và vì thế

Cuối cùng, ta chứng minh (5). Giả sử thì tồn tại thành viên khác nhau trong bộ . Bổ đề Erdös-Frankl-Füredi cho ta biết . Nhưng, khi thì điều này không thể xảy ra.

Dùng bất đẳng thức ta dễ dàng có hệ quả sau đây:

Hệ quả 5 Khi ta có