Nghịch đảo Möbius và các viên bi màu

NQH | 08/09/2010 |

1. Động cơ

A. Công thức inclusion-exclusion nói rằng, để đếm tổng số nhóc tì có Chí Phèo là bố hoặc thị Nở là mẹ, thì ta cộng số con của chí Phèo với số con của thị Nở trừ đi số con chung. Nói cách khác cho ${n}$ tập ${A_1,\cdots, A_n}$ thì

$\displaystyle \biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right| -\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\cdots+ \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|$

Công thức này một số sách nói là của Abraham de Moivre (1667–1754); nhưng có vẻ nó xuất hiện năm 1854 từ một bài báo của Daniel da Silva, và lần nữa năm 1883 trong một bài báo của Joseph Sylvester. Năm 1891, François Édouard Anatole Lucas (cha đẻ bài toán tháp Hà Nội) đặt câu hỏi sau đây: “cho một cái bàn tròn và ${m}$ cặp vợ chồng, có bao nhiêu cách để xếp họ ngồi nam nữ xem kẽ sao cho không cặp vợ chồng nào ngồi kề nhau?” Ta có thể dùng công thức IE để trả lời câu hỏi của Lucas. (Bài tập. Hà, tớ không cho bài đếm số derangements chán ngấy nhé!)

B. Trong lý thuyết số có một công thức gọi là công thức nghịch đảo Möbius, xinh hơn hoa hậu! Công thức này phát biểu như sau. Cho hai hàm số ${f, g}$ bất kỳ trên miền số nguyên dương, ta có

$\displaystyle f(n) = \sum_{d | n} g(d), \ \forall n \geq 1$

tương đương với

$\displaystyle g(n) = \sum_{d | n} \mu(d)f(n/d), \ \forall n \geq 1$

trong đó ${\mu(d)}$ là hàm Möbius định nghĩa như sau

$\displaystyle \mu(d) = \begin{cases} 1 & d \text{ is a product of an even number of distinct primes}\\ -1 & d \text{ is a product of an odd number of distince primes}\\ 0 & d \text{ is not square free} \end{cases}$

Möbius là một nhà thiên văn, từng là trợ lý của Gauss; ông cũng là tác giả của cái băng Möbius lừng danh trong hình học Tô-pô.

C. Công thức Euler phát biểu rằng ${v-e+f=2}$ , trong đó ${v,e,f}$ là tổng số đỉnh, cạnh, và mặt của một khối đa diện ba chiều. Euler khám phá ra công thức này năm 1752, nhưng có vẻ như Descartes cũng đã biết nó từ 1640. Trăm năm sau, năm 1852, Schläfli phát biểu công thức tổng quát cho các đa diện lồi trong không gian ${n}$ -chiều, nhưng chứng minh đúng phải chờ đến người khổng lồ Poincaré (1893). Công thức Euler tổng quát như sau. Gọi ${f_i}$ là tổng số “mặt” ${i}$ -chiều của đa diện ${n}$ chiều (“mặt” ${0}$ -chiều là đỉnh, mặt ${1}$ -chiều là cạnh, vân vân). Ta cũng định nghĩa ${f_n=1}$ và ${f_0=-1}$ để viết cho tiện. Thì ta có công thức Euler tổng quát

$\displaystyle \sum_{i=-1}^n (-1)^if_i = 0.$

D. Năm 1964, trong bài đầu tiên của một chuỗi bài báo kinh điển đặt nền móng cho lý thuyết tổ hợp đại số, Gian-Carlo Rota cho chúng ta biết cả ba công thức trên chẳng qua là trường hợp đặc biệt của phương pháp tính nghịch đảo Möbius trên các tập hợp thứ tự một phần (partially ordered set, hay poset). Mà phương pháp nghịch đảo Möbius trên posets thì chẳng qua chỉ là phát biểu sau đây: nếu ${{\bf A}}$ là một ma trận vuông khả nghịch, thì ${{\bf x = Ay}}$ tương đương với ${{\bf y = A^{-1}x}}$ . Đại số tuyến tính muôn năm! Rota có quyển sách rất thú vị có nhiều chuyện gossips nổi tiếng trong giới chuyên môn: Indiscrete Thoughts.

Trong bài này chúng ta duyệt qua phương pháp của Rota, chứng minh cả ba công thức trên, và chứng minh lại bổ đề Sauer để tự thưởng công.

2. Nghịch đảo Möbius trên posets

Poset đại khái là một tập hợp mà ta có thể so sánh lớn nhỏ giữa một số cặp phần tử nhưng không nhất thiết là so được tất cả các cặp. Thứ tự lớn nhỏ này có tính bắc cầu (transitive) và không tạo ra thứ tự luẩn quẩn.

Cụ thể hơn, một poset (tập thứ tự một phần) là một cặp ${(P, \leq)}$ trong đó ${P}$ là một tập hợp và ${\leq}$ là một quan hệ nhị phân (hay quan hệ hai ngôi) giữa các phần tử của ${P}$ thỏa mãn 3 tính chất

${x \leq y}$ và ${y \leq z}$ suy ra ${x \leq z}$ , với mọi ${x,y,z \in P}$ (tính bắc cầu — transitive)
${x \leq x, \forall x \in P}$ (tính phản xạ — reflexive)
${x \leq y}$ và ${y \leq x}$ suy ra ${x=y}$ (tính phản xứng — antisymmetric)

Ví dụ 1: ${P = B_n}$ là tập tất cả các tập con của ${[n]}$ và quan hệ nhị phân là ${\subseteq}$ , nghĩa là ${X\leq Y}$ nếu và chỉ nếu ${X \subseteq Y}$ . Cái poset này gọi là đại số Bool (Boolean algebra).

Ví dụ 2: ${P = D_n}$ là tập tất cả các ước số dương của ${n}$ , quan hệ nhị phân là quan hệ “chia hết”, nghĩa là ${i\leq j}$ nếu và chỉ nếu ${i | j}$ . Ký hiệu ${i | j}$ nghĩa là ${j}$ chia hết cho ${i}$ (hay ${i}$ chia hết ${j}$ ).

Ví dụ 3: ${P}$ là tập tất cả các “mặt” (faces) của một đa điện (polytope) trong không gian ${n}$ chiều; và ${x \leq y}$ nếu mặt ${x}$ chứa trong mặt ${y}$ . Mặt rỗng cũng là một mặt với chiều ${-1}$ , và toàn bộ đa diện là một mặt với số chiều bằng ${n}$ . Poset này còn gọi là face lattice của polytope.

(Các hình trên đều chôm từ Wikipedia.)

Những điều ta viết sau đây đúng cho một trường ${K}$ tùy hỉ và các posets vô hạn (miễn là nó hữu hạn địa phương). Để cho đơn giản, ta phát biểu các kết quả với ${K = \mathbb C}$ và các posets hữu hạn thôi.

Gọi ${(P, \leq)}$ là một poset hữu hạn. Ta xét các ma trận ${\alpha}$ kích thước ${|P| \times |P|}$ sao cho ${\alpha(x,y) = 0}$ nếu ${x \not\leq y}$ . Khi ${x \leq y}$ thì ${\alpha(x,y) \in \mathbb C}$ tùy hỉ. Tập các ma trận này gọi là đại số kề (incident algebra) của ${P}$ , ký hiệu là ${I(P)}$ . Trong đại số kề thì ma trận ${\delta}$ định nghĩa bằng

$\displaystyle \delta(x,y) = \begin{cases} 1 & x=y\\ 0& x\neq y\end{cases}$

là ma trận đơn vị.

Theorem 1 Xét một ma trận ${\alpha \in I(P)}$ tùy ý thì ${\alpha}$ khả nghịch nếu và chỉ nếu ${\alpha(x,x)\neq 0, \forall x \in P}$ .

Proof: Nếu ta vẽ “đồ thị” của ${P}$ bằng cách xem ${P}$ như tập các đỉnh và vẽ một mũi tên từ ${x}$ đến ${y}$ nếu ${x \leq y}$ thì ta có một đồ thị có hướng nhưng không có vòng tròn (directed acyclic graph). Do đó, tồn tại một cách liệt kê tất cả các phần tử của ${P}$ từ trái sang phải sao cho tất cả các mũi tên đều trỏ sang phải hoặc trỏ vào chính nó (loop trong đồ thị). Thứ tự này gọi là topological ordering của đồ thị, là một bài tập cơ bản khi học các thuật toán duyệt đồ thị.

Nếu ta viết các ma trận ${\alpha \in I(P)}$ mà các hàng và cột đánh chỉ số theo thứ tự này thì ta có các ma trận tam giác trên (upper-triangular). Do đó ${\alpha}$ khả nghịch nếu và chỉ nếu ${\alpha(x,x) \neq 0, \forall x}$ , nghĩa là các phần tử trên đường chéo khác không. $\Box$

Một phần tử quan trọng của ${I(P)}$ là ${\zeta}$ , gọi là hàm zeta của ${P}$ , định nghĩa bằng

$\displaystyle \zeta(x,y) = \begin{cases} 1 & x\leq y\\ 0& x\not\leq y\end{cases}$

Theo định lý trên thì ${\zeta}$ có ma trận nghịch đảo, ký hiệu là ${\mu}$ , gọi là hàm Möbius của ${P}$ . Từ định nghĩa ta có: với ${\alpha, \beta \in I(P)}$ bất kỳ thì

$\displaystyle (\alpha\beta)(x,y) = \sum_{x \leq z \leq y} \alpha(x,z)\beta(z,y).$

Do đó, từ ${\mu\zeta = \delta}$ ta suy ra

$\displaystyle \delta(x,y) = \sum_{x\leq z\leq y}\mu(x,z)\zeta(z,y) = \sum_{x\leq z \leq y}\mu(x,z). \ \ \ \ \ (1)$

Đẳng thức (1) suy ra công thức quy nạp để tính ${\mu(x,y)}$ :

$\displaystyle \mu(x,y) = \begin{cases} 1 & x=y\\ - \sum_{x\leq z<y} \mu(x,z) & x < y\\ 0 & x \not\leq y \end{cases}$

Từ công thức này ta suy ra giá trị hàm Möbius cho ba posets ở trên. Hai đẳng thức đầu thì dễ (làm bài tập), cái thứ ba thì khó.

Nếu ${P = B_n}$ là tập tất cả các tập con của ${[n]}$ (đại số Bool), thì
$\displaystyle \mu(A,B) = \begin{cases} (-1)^{|B|-|A|} & A \subseteq B\\0& A \not\subseteq B\end{cases}$
Nếu ${P = D_n}$ là tập tất cả các ước số của ${n}$ , thì
$\displaystyle \mu(x,y) = \begin{cases} (-1)^{r} & \text{ if } y/x \text{ is a product of } r \text{ distinct primes}\\ 0 & \text{ otherwise }\end{cases}$
Nếu ${P}$ là face-lattice của một đa điện ${n}$ chiều thì
$\displaystyle \mu(A,B) = \begin{cases} (-1)^{\text{dim}(B)-\text{dim}(A)} & \text{if } A \subseteq B\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases} \ \ \ \ \ (2)$

Từ đây và (1) ta có công thức Euler:

$\displaystyle 0 = \delta(\emptyset, P) = \sum_{\text{face } A} (-1)^{\text{dim}(A)+1} = -\sum_{i=-1}^n (-1)^if_i,$

Đến đây, xét hai hàm số ${f, g: P \rightarrow \mathbb C}$ bất kỳ. Ta có thể xem chúng như hai vectors trong không gian ${\mathbb C^{|P|}}$ . Công thức nghịch đảo Möbius trên poset nói một điều rất đơn giản:

$\displaystyle f = \zeta g \Leftrightarrow g = \mu f.$

Ta có thể viết rõ ràng hơn một chút vì ta biết ${\zeta(x,y)}$ và ${\mu(x,y)}$ bằng ${0}$ ${0}$ nếu ${x \not\leq y}$ :

$\displaystyle f(x) = \sum_{x\leq y} g(y), \forall x \in P \ \Leftrightarrow \ g(x) = \sum_{x\leq y} \mu(x,y)f(y), \forall y \in P. \ \ \ \ \ (3)$

Đối ngẫu lại, từ ${f = g \zeta \Leftrightarrow g = f\mu}$ ta có

$\displaystyle f(x) = \sum_{x\geq y} g(y), \forall x \in P \ \Leftrightarrow \ g(x) = \sum_{x\geq y} \mu(y,x)f(y), \forall y \in P. \ \ \ \ \ (4)$

Áp dụng (4) cho poset ${P=D_n}$ , ta có ngay công thức nghịch đảo Möbius trong lý thuyết số ở trên. Còn công thức inclusion-exclusion thì sao? Cách hiểu sau đây sẽ hữu dụng trong nhiều trường hợp. Giả sử ta có một tập “bi ve” ${U = A_1 \cup \cdots \cup A_n}$ . Mỗi viên bi có nhiều màu. Các màu được đánh số từ ${1}$ đến ${n}$ . Gọi ${A_i}$ là tập các viên bi có màu ${i}$ . Với ${X \subseteq [n]}$ tùy ý, gọi ${g(X)}$ là tập tất cả các viên bi chỉ có đúng các màu trong ${X}$ mà thôi. Khi đó,

$\displaystyle f(X) = \sum_{X \subseteq Y} g(Y)$

chính là số các viên bi mà mỗi viên có ít nhất các màu trong ${X}$ , và ${f(\emptyset) = |U|}$ . Do đó,

$\displaystyle f(X) = \left| \bigcap_{i\in X} A_i \right|.$

Áp dụng (3) cho poset ${P = B_n}$ ta kết luận

$\displaystyle 0 = g(\emptyset) = \sum_{Y\subseteq [n]} (-1)^{|Y|} \left| \bigcap_{i\in Y} A_i \right|.$

Chuyển ${f(\emptyset) = |U|}$ sang một vế là ta có công thức IE.

3. Lại bổ đề Sauer

Gọi ${\mathcal F}$ là một bộ các tập con của ${[n]}$ . Với ${S\subseteq [n]}$ bất kỳ, định nghĩa ${\Pi_{\mathcal F}(S) = \{F \cap S \ | \ F \in \mathcal F\}}$ . Ta nói ${\mathcal F}$ “băm nát” ${S}$ nếu ${\Pi_{\mathcal F}(S) = 2^{|S|}}$ . Gọi ${d}$ là kích thước lớn nhất của một tập ${S}$ bị ${\mathcal F}$ băm nát. Bổ đề Sauer nói là ${|\mathcal F| \leq \Phi_d(n) = \sum_{i=0}^d \binom n i}$ .

Ta chứng minh bổ đề này bằng “phương pháp chiều” (Đại Số tuyến tính van tuế!). Gọi ${\binom{[n]}{\leq d}}$ là tập tất cả các tập con của ${[n]}$ với kích thước bé hơn hoặc bằng ${d}$ . Với mỗi ${F \in \mathcal F}$ , định nghĩa một hàm số ${h_F: \binom{[n]}{\leq d} \rightarrow \mathbb R}$ như sau:

$\displaystyle h_F(X) = \begin{cases}1&X\subseteq F\\0&X\not\subseteq F\end{cases}.$

Các hàm ${h_F}$ là các vectors trong không gian ${\mathbb R^{\Phi_d(n)}}$ . Có tất cả ${|\mathcal F|}$ vectors ${h_F}$ , do đó nếu chúng độc lập tuyến tính thì ${|\mathcal F| \leq \Phi_d(n)}$ . Giả sử chúng không độc lập tuyến tính, nghĩa là tồn tại các hệ số ${\alpha_F}$ sao cho

$\displaystyle \sum_{F\in \mathcal F} \alpha_Fh_F = 0 \ \ \ \ \ (5)$

và các hệ số này không cùng bằng ${0}$ . Để cho tiện, ta mở rộng định nghĩa và gán ${\alpha_X = 0}$ với mọi ${X \in 2^{[n]} \setminus \mathcal F}$ .

Từ (5), với ${X \in \binom{[n]}{\leq d}}$ bất kỳ ta có ${\sum_{F\in \mathcal F} \alpha_Fh_F(X) = 0,}$ hay nói cách khác với ${X \in \binom{[n]}{\leq d}}$ tùy ý ta có ${\sum_{X \subseteq Y} \alpha_Y = 0.}$ Định nghĩa ${\beta_X = \sum_{X \subseteq Y} g(Y)}$ , thì ta vừa thấy rằng ${\beta_X=0, \forall X \in \binom{[n]}{\leq d}}$ .

Gọi ${Y}$ là tập con nhỏ nhất của ${[n]}$ sao cho ${\beta_Y \neq 0}$ . (Nếu ta lấy tập ${F \in \mathcal F}$ có kích thước lớn nhất sao cho ${\alpha_F\neq 0}$ thì ${\alpha_F = \beta_F \neq 0}$ , do đó tồn tại tập ${Y}$ nhỏ nhất như định nghĩa.) Dĩ nhiên ${|Y|\geq d+1}$ . Ta chứng minh rằng ${Y}$ bị ${\mathcal F}$ băm nát, từ đó dẫn đến điều vô lý. Để chứng minh ${Y}$ bị băm nát thì ta cần chứng minh, với ${Z\subseteq Y}$ tùy ý, tồn tại ${F \in \mathcal F}$ sao cho ${F\cap Y = Z}$ . Để chứng minh điều này thì chỉ cần chứng minh

$\displaystyle \sum_{A \subseteq [n], A\cap Y=Z} \alpha_A \neq 0.$

là xong, tại vì ${\alpha_A = 0, \forall A \notin \mathcal F}$ . Đến đây ta xét poset ${B_m}$ gồm tất cả các tập con của ${Y-Z}$ (đặt ${m = |Y-Z|}$ ). Poset này là đại số Bool bậc ${m}$ . Với mỗi phần tử ${W \subseteq Y-Z}$ , định nghĩa

$\displaystyle g(W) = \sum_{X: X \cap Y = Z \cup W} \alpha_X.$

Và định nghĩa, với mọi ${V \subseteq Y-Z}$ ,

$\displaystyle f(V) = \sum_{V\subseteq W \subseteq Y-Z} g(W).$

(Lưu ý rằng ta sẽ dùng dạng (3) của nghịch đảo Möbius.) Dễ thấy rằng

$\displaystyle f(V) = \beta_{Z\cup V}, \ \ \forall V \in B_m.$

Do ${Y}$ là tập nhỏ nhất với ${\beta_Y = 0}$ , ta có ${f(V) = 0, \forall V \neq Y-Z}$ , và ${f(Y-Z) = \beta_Y \neq 0}$ . Theo nghịch đảo Möbius ta có

$\displaystyle \sum_{A \subseteq [n], A\cap Y=Z} \alpha_A = g(\emptyset) = \sum_{V \subset Y-Z} (-1)^{|V|}f(V) = (-1)^{|Y-Z|}\beta_Y \neq 0.$

Chủ đề : Combinatorics and tagged Combinatorics, Inclusion-Exclusion, Nghịch đảo Mobius, Rota, Tản toán, Đại số tuyến tính. Bookmark the permalink. Trackbacks are closed, but you can post a comment.

28 Comments

ntzung

Posted 09/09/2010 at 9:40 am | Permalink

Năm nay có khi phải chôm mấy ví dụ này cho course về đại số tuyến tính

Reply
ntzung

Posted 09/09/2010 at 12:35 pm | Permalink

Lại nói về Mobius, hôm nọ có 1 tay làm báo cáo, nói rằng Bach (nhà soạn nhạc) nghĩ ra Mobius band trước khi Mobius sinh ra (tuy tất nhiên ko nghiên cứu các tính chất topo của nó). Bach có viết 1 khúc nhạc, ở cuối viết thêm 1 khóa nhạc lộn đầu đuôi, quay về ban đầu đánh ngược lại (?!)

Reply
- Ngô Quang Hưng
  
  Posted 09/09/2010 at 1:00 pm | Permalink
  
  Vậy bác phải xem thử cái này: http://www.youtube.com/watch?v=xUHQ2ybTejU&feature=player_embedded
  
  Very cool! Nhớ xem đến cuối vì cái phần “cool” nằm ở cuối.
  
  Hồi xưa Hàn Mạc Tử có bài thơ đọc xuôi ngược đều được, nhưng như vậy chưa phải là Mobius strip
  
  Reply
ntzung

Posted 09/09/2010 at 2:00 pm | Permalink

đúng rồi, hôm đó cũng được xem cái video này, tuy nhiên đầu óc mụ mẫm vẫn chưa thủng là nhạc đánh theo các chiều nào

Reply
rung

Posted 10/09/2010 at 2:16 am | Permalink

Bên vnn có một ông đòi hô phong hoán vũ dip đại lễ 1000 năm Hà Nội rất xôm tụ. Cái này như có dính đến toán (xác xuất), anh Hưng làm một entry đi chứ tội cho dân mình quá.

http://vietnamnet.vn/xahoi/201009/Di-nhan-duoi-mua-Quy-vi-dung-nong-ruot-934675/

Reply
- Ngô Quang Hưng
  
  Posted 10/09/2010 at 4:57 am | Permalink
  
  Chào anh Rung, tôi đã có bài “Vượt Định Kiến Bằng Lăng Ba Vi Bộ” về đề tài này rồi; đánh nhau với sự phản duy lý thì như đấm bao cát. Có 2 phía có lợi từ “thị trường dị đoan”: các bạn lều báo lá cải có tiền, và các bác dị nhân, nhỡ đâu nói bậy trúng bừa, cũng sẽ có tiền. Còn tiền thì còn làm thôi.
  
  Reply
Nguyễn Xuân Long

Posted 10/09/2010 at 6:21 pm | Permalink

Beautiful post, bác Hưng! Hy vọng có dịp được học thêm về extremal combinatorics mới được.

Reply
- Ngô Quang Hưng
  
  Posted 11/09/2010 at 5:52 am | Permalink
  
  Cảm ơn bác Long.
  
  À, tôi quên nhắc là Rota cũng là một probabilist cừ khôi — từng chơi thân với Ulam và Metropolis (như trong Metropolis-Hasting), cũng đều là các probabilists cừ khôi. Rota viết một chương trong quyển Indiscrete Thoughts về Ulam làm cho bà xã Ulam giận lắm, đến khi Rota chết rồi vẫn còn giận
  
  Rota có một Ph.D. student người Việt tên là Nguyễn Quang Hiền (hay Hiển) tốt nghiệp năm 1975. Bác này chắc đến giờ cũng về hưu rồi. Xem thêm bài này.
  
  Thời gian bay. Hồi tôi bắt đầu học poset thì Rota vẫn còn sống … (học lớp của Vic Reiner là “cháu nội” của Rota).
  
  Reply
Whitebear

Posted 14/09/2010 at 9:20 pm | Permalink

Thật ra thì cái ông dị nhân ấy đã nổi tiếng bịp bợm từ lâu rồi, nên cũng chả có gì lạ trong việc ông ấy lên báo tuyên bố linh tinh. Giới KHHB cũng rất ghét ông ta và thường tẩy chay.

Còn về ý kiến của GS Ngô Quang Hưng về các lãnh vực kia thì theo tôi thế này.
1-Có một tương ứng của chính những cái GS đang nói ở đây với cấu trúc toán học của chính cái mà GS Hưng phê phán.
http://www.i-ching.hu/chp00/chp2/reconstruct.htm
http://www.i-ching.hu/chp00/chp3/analysis.htm
Cụ thể hơn là cấu trúc toán học đằng sau của Kinh Dịch và cả Iching algebra. Ví dụ như vòng tròn âm dương thường thấy chính là hình chiếu của $B_6$ xuống $R^2$.
Trong condense matter physics, connection với Iching algebra này cũng xuất hiện.
http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0204078
Vậy có thể có hi vọng kết quả trên có ứng dụng trực tiếp cho nghiên cứu Kinh Dịch.

Reply
Ngô Quang Hưng

Posted 15/09/2010 at 4:02 am | Permalink

Chào Whitebear, bạn muốn tin vào cái gì thì tùy bạn.

Reply
QuanT C

Posted 15/09/2010 at 10:30 am | Permalink

hehe

Reply
Nkd

Posted 15/09/2010 at 1:02 pm | Permalink

Tôi cũng ngạc nhiên vì WhiteBear vẫn có niềm tin kỳ quặc vào mấy thứ tử vi, kinh dịch đấy. Quan trọng là dùng những thứ đấy để dự báo được cái gì, độ chính xác ra sao chứ không phải gán nó với lý thuyết toán học, vật lý cao siêu nào là tự dưng nó thành chính xác. Con thỏ đeo mặt nạ chó sói thì vẫn không thể trở thành chó sói được.

Giả dụ ngày xưa những người thiết kế ra kinh dịch với mục đích ban đầu là để quy định vị trí ngồi chầu của các quan trong triều đình, rồi một hậu bối nào đó nhầm lẫn, lấy làm quẻ bói, và đến giờ để những người như WB tin lấy, tin để. Thực ra độ chính xác của xem bói bằng kinh dịch, nếu có, nằm ở năng lực ngoại cảm của thầy bói, chứ không phải nằm ở chính bản thân bộ kinh dịch. (Đấy là lý do dễ thấy không phải ai cũng bắt quẻ kinh dịch được.) Điều này tương tự như bộ bài tây, mục đích ban đầu của nó được làm ra không phải để xem bói, Chúa cho con gà cái chân cũng không phải để cho người đời xem bói. Vậy mà người ta vẫn xem bói bằng bài tây hay chân gà được, là nhờ năng lực ngoại cảm của thầy bói chứ không phải bài tây hay chân gà gắn liền với 1 lý thuyết cao siêu nào. Thay vì bộ kinh dịch, một thầy bói giỏi có thể sử dụng bất kỳ bộ sắp thứ tự nào để bói.

Còn chuyện tử vi thì tôi đã nói rồi. Dự báo thời tiết chẳng hạn, dựa vào hàng trăm thông số và dự báo rất gần trong phạm vi 1 vài tuần đổ lại nên độ chính xác cao. Tử vi chỉ dựa vào 4 thông số (giờ, ngày, tháng, năm) mà đòi dự báo vô số sự kiện trong 90 năm của đời người rất phi lý. Một phần là confirmation bias. Phần thứ hai là chủ yếu dựa vào năng lực ngoại cảm của thầy xem tử vi thôi. Phần confirmation bias ví dụ như thế này: các sự kiện lớn của tử vi chẳng hạn như Hôn nhân, Tang lễ liên quan đến mỗi người cứ 2, 3 năm lại hiện lên trên bảng tử vi một lần. Chính vì vậy xác xuất đúng khá cao. Thậm chí, năm đấy không xảy ra hôn nhân mà chỉ có một mối quan hệ mặn nồng cũng khiến người ta tin tử vi rồi. Mỗi người đều có rất nhiều người thân ở hai bên họ hàng. Thế nên xác suất 1 người thân chết đúng vào năm tử vi báo rất cao. Chỉ một lần đoán đúng là người ta đồn đại nhau khiến cả cộng đồng tin sái cổ mà bỏ qua vô số lần đoán sai.

Một số thầy dự báo được tháng nào đó bạn có tai nạn. Thầy khác cũng nhìn bản tử vi đấy không báo được. Nghĩa là bản thân lý thuyết tử vi có khả năng dự báo rất nghèo nàn. Tất cả dựa vào năng lực ngoại cảm của người xem bói thôi.

Tôi tin vào năng lực ngoại cảm chứ không tin vào mấy thứ tử vi, kinh dịch. Mấy thứ đấy chả có gì cao siêu và chỉ là phương tiện trung gian để giao tiếp giữa thày bói và người đi xem thôi. Ví dụ bà Vanga xem tương lai cho ai đó thì người đấy cần cầm 1 miếng đường. Lá số tử vi hay Kinh dịch cũng chỉ có ý nghĩa như miếng đường thôi. Bà đấy bị mù, nhưng những người năng lực ngoại cảm mạnh có thể nhìn mặt bạn là phán đoán được đủ thứ, không cần vật trung gian nào.

Reply
Whitebear

Posted 15/09/2010 at 1:27 pm | Permalink

Chị NKD buồn cười nhỉ? Có hai khái niệm chính cần phải phân biệt rõ ràng, đó là lý thuyết Kinh Dịch và việc sử dụng Kinh Dịch để bói. Rất nhiều người nhầm lẫn một cách buồn cười giữa hai khái niệm này và dẫn đến những tuyên bố rất linh tinh.
Lý thuyết Kinh Dịch về bản chất chính là đại số Boolean, chính là cái GS Hưng nói ở đây, còn việc sử dụng Kinh Dịch vào thực tế là việc của thầy bói, cái đó tôi không bình luận.

Ví dụ, việc tung đồng xu và nghiên cứu các không gian mẫu của nó bản chất là toán học , còn việc sử dụng tung đồng xu đó để dự đoán bất cứ cái gì đó lại là việc khác, tôi không bình luận.

Ví dụ, tôi muốn hỏi GS Hưng:” GS có tin rằng xác xuất mặt xấp của một đồng xu đồng chất khi tung là 1/2 hay không?”

Bản chất của Kinh dịch chính là toán học trên trường $F_2$, và như tôi đã nói thì khi chiếu $F_2^6 $ lên R^2 thì thu được vòng tròn âm dương. Đây là kết quả toán học thuần tùy, và được public đàng hoàng trên citeseer http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.23.370

Vì vậy, rất mong GS Hưng thận trọng khi sử dụng ngôn ngữ “, bạn muốn tin vào cái gì thì tùy bạn.” vì đây không phải là tin hay không, mà là chứng minh thuần túy toán học. Tất nhiên GS có quyền tuyên bố “tôi không tin” với một chứng minh toán học thuần túy, tôi đành miễn bình luận.

Reply
Nkd

Posted 15/09/2010 at 2:26 pm | Permalink

Ừ thế lý thuyết kinh dịch theo Bear để làm gì? Gán cho nó những thứ hào nhoáng, mà không biết dùng vào việc gì?
ỷ
Bản thân kinh dịch là 1 bộ sắp thứ tự. Sách nguyên thuỷ của nó chỉ là 1 list 64 quẻ từ trên xuống dưới. Đi kèm với mỗi quẻ là 1 ý nghĩa nào đó.

Chị xem qua thấy có mỗi chỉ dẫn Qian là Trời ở trên, Kun là Đất ở dưới. Còn tất cả các hình vẽ là do ông tác giả sáng tác ra chứ không phải hình gốc nguyên thủy cách đây hàng nghìn năm. Một bộ sắp thứ tự có thể sắp xếp lại theo 1 trật tự nào đó mang ý nghĩa toán học là chuyện bình thường.

Chẳng qua là chuyện thêu dệt.

Reply
Whitebear

Posted 15/09/2010 at 4:15 pm | Permalink

Vậy thế thì theo chị, cái nghịch đảo Mobius này có nghĩa gì?
Và trong khi đó, chính hình vẽ này mà GS Hưng sử dụng, http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Pyramid_face_lattice.svg/500px-Pyramid_face_lattice.svg.png
nếu không phải là abcde mà là abcdef, 6 đỉnh, thì chính xác là vòng tròn âm dương?
Và chính hình vẽ mà GS Hưng sử dụng trong đây
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg/500px-Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg.png và cái này http://www.i-ching.hu/chp00/chp2/reconstr_img/image09.png chả khác nhau gì cả.
Tất nhiên, đúng là một số tác giả tìm cách gán mỗi một véc tơ trong ${F_2}^6$ với một ý nghĩa nào đó, và đó là việc của họ, và tôi nói luôn là tôi cũng không thuộc hết 64 quẻ này. Trong một lãnh vực thì bao giờ cũng có kết quả đầu tiên và các kết quả được sau đó để solidify lý thuyết.

Khổng tử publish một paper cách đây vài ngàn năm, đến bây giờ vẫn được highly cited và vẫn đang được solidify bởi nhiều nhà nghiên cứu khác.
Giáo Sư Nguyễn Hoàng Phương, người thành lập ngành VL ở Vn, thầy của rất nhiều nhà vật lý có tiếng ở VN có rất nhiều paper vô cùng nghiêm túc về lãnh vực này.
http://www.4shared.com/document/PK31nfUp/TAP_1.html
http://www.4shared.com/document/mXd_wBWX/TAP_2.html
http://www.4shared.com/document/ffnhYyYi/TAP_3.html
http://www.4shared.com/document/lqIY2o9P/TAP_4.html
Cả cấu trúc của đại số Lie, đại số Clifford, lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, thậm chí cả đại số Lie expetional E8 cũng xuất hiện ở đây.
Còn khi chị không đủ kiến thức về lãnh vực này và tuyên bố “chuyện thêu dệt” thì quả thật ….

Còn cá nhân tôi thì sẽ vô cùng thận trọng khi tuyên bố ở một lãnh vực ngoài chuyên môn của mình.

Reply
Ngô Quang Hưng

Posted 15/09/2010 at 4:19 pm | Permalink

Chào Whitebear, bạn muốn nghiên cứu cái gì thì tùy bạn.

Reply
Nkd

Posted 15/09/2010 at 5:05 pm | Permalink

Chị đã nói cái hình ở site I-ching đấy là do tác giả sáng tác ra. Làm gì có trong tài liệu Kinh Dịch gốc. Bear với ông Hoàng Phương với mấy ông GS vật lý ở VN tư duy giống nhau!!!

Chuyện tương tự thế này:

Thời tiền sử, có một chú nào đấy nghĩ ra các con số từ 1..9 để đếm gia súc. Chú còn dùng các con số đấy để đếm được hàng trăm người trong bộ lạc cơ.

Đến thời trung cổ, có một chú nào đấy nhét các con số ấy vào 1 cái gọi là ma trận, rồi tính định thức này nọ, phát hiện ra rất nhiều đặc tính hấp dẫn của ma trận. Chú vô cùng khâm phục tiền bối thời tiền sử đã có tầm nhìn xa trông rộng, tiên đoán được sự ra đời của Ma trận và các tính chất của nó, nên mới nghĩ ra 9 con số ấy.

Reply
Whitebear

Posted 15/09/2010 at 5:28 pm | Permalink

Thưa anh Hưng
Cố GS Nguyễn Hoàng Phương, người đã thành lập ngành vật lý lý thuyết ở Việt nam, truởng khoa lý ĐHTH, đã nghiên cứu cấu trúc toán học/vật lý hạt cơ bản đằng sau Kinh Dịch suốt 30 năm với rất nhiều đóng góp trong lãnh vực này. Cuốn sách “Lý thuyết nhóm và cơ học lượng tử” được viết dưới cách nhìn kinh dịch chính là cuốn gối đầu giường của toàn bộ SV ngành VL ở Vn. Tôi cũng chỉ có may mắn được nói chuyện với ông một lần truớc khi ông mất, và sau đó học thêm rất nhiều từ công trình NCKH của ông.
Thực ra, đúng là anh muốn tuyên bố bất cứ cái gì trên blog của anh thì tùy anh, không một ai có quyền ngăn cản. là GS đầu ngành CS, anh có đứng ra đả kích toàn bộ ngành vật lý lý thuyết VN cùng các học trò của ông, cũng không ai dám nói.
Chỉ mong anh, với tư cách là một GS đầu ngành của VN thể hiện sự tôn trọng đối với những nhà nghiên cứu thuộc những lãnh vực khác vì sẽ có rất nhiều SV đọc blog của anh.
Vì vậy, dù cho anh Hưng không có sự tôn trọng tối thiểu đối với ông và những học trò của ông đi nữa, thì mong anh giữ nó trong lòng đừng tuyên bố trên blog đại chúng làm gì.

Như vậy, hương hồn GS Phương và những học trò đang tiếp bước của ông trên con đường nghiên cứu vật lý và cả kinh dịch như GS Nguyễn Ái Việt viện truởng viện VL, GS Đào Vọng Đức viện vật lý và TT NC tiềm năng con người và nhiều người đi sau khác (trong đó có tôi) cũng sẽ cảm ơn anh nhiều.
http://100years.vnu.edu.vn/BTDHQGHN/Vietnamese/C1778/C1779/2006/05/N7752/
Thành thật xin lỗi anh nếu như tôi nói có điều gì thất lễ.

Reply
Whitebear

Posted 15/09/2010 at 5:43 pm | Permalink

Còn chị Vìu ạ, hiển nhiên một lãnh vực NCKH không chỉ có một paper, huống chi đây là paper cách đây 2000 năm. Chị thử mang paper cách đây 2000 năm của ngành Economic, GS Hưng mang paper cùng thời của ngành CS ra đọ thử xem sao? Xem cái nào develop hơn?

Hiện nay những người nghiên cứu lãnh vực này ở VN có rất ít, GS Nguyễn Hoàng Phương vừa mất vài năm, chỉ còn có học trò của ông là GS Nguyễn Ái Việt, Đào Vọng Đức viện truởng và viện phó viện vật lý, và một vài người đi sau. Trứoc khi GS mất, GS có trăng trối với con cháu (chính là nhân vật Lê Thị Công Nhân nổi tiếng) và đệ tử của mình tìm người biết cả vật lý, toán học, và Lý học phương đông để phát triển. Tôi là một trong những người may mắn được chọn.
GS Phương đang phát triển một lý thuyết gauge lượng tử dựa trên Kinh dịch, nhằm thống nhất các lực, và đã chứng minh được nó tuơng thích với standard model. GS mất không nhắm mắt vì vẫn còn trăn trở lý thuyết Kinh Dịch trong lý thuyết trường lượng tử (mà đến nay kiến thức của tôi còn quá hạn chế)
Vậy truớc khi chị hay bất cứ ai đó đứng ra tuyên bố “Chỉ là chuyện thêu dệt”, “ai đó tin thì tùy” mời chị chỉ ra một phản ví dụ với công trình của ông. Nếu như phản ví dụ được chỉ ra, hoặc điều ngược lại được chứng minh tôi tin rằng hương hồn GS Phương sẽ được nhắm mắt và yên nghỉ và các học trò của ông ở Viện Vật Lý sẽ cảm ơn chị rất nhiều.
Đó mới là phong cách của người làm NCKH.

Reply
Nkd

Posted 15/09/2010 at 6:42 pm | Permalink

Nghiên cứu ở VN có publish được đâu. Hoặc nghiên cứu Toán trong Đạo học phương đông thì publish ở các tạp chí tôn giáo. Bản thân ban biên tập cũng chẳng hiểu nó là cái gì nên cứ đăng.

Nguyên tắc của nghiên cứu nói chung là KHÔNG ĐƯỢC SÁNG TÁC. Kiểu nghiên cứu khoa học ở phương đông hiện nay là sáng tác thêm vào, bình luận, bôi son trát phấn để nầng tầm quan trọng của Khoa học Phương đông lên, để chứng tỏ là mình cũng nghiên cứu, để tự sướng, hoặc để bán kiếm tiền v.v…Dĩ nhiên là cũng có những người làm thế vì những mục đích tốt, nhưng dễ khiến cho độc giả hiểu nhầm.

Cuốn sách của ông Hoàng Phương giống dạng sách Best Sellers viết cho đại chúng ở Phương tây. Ví dụ Capra viết cuốn The Tao of Physics. Ông ấy thừa nhận đại đa số những người tán thưởng cuốn sách của ông ấy nhiệt tình nhất là các ông thợ cắt tóc, thư ký văn phòng. Bởi vì giới nghiên cứu vật lý quốc tế không đồng ý gán ghép những lý thuyết vật lý phức tạp vào những nhận định thô sơ.

Reply
Whitebear

Posted 15/09/2010 at 7:08 pm | Permalink

Em đề nghị chị lần cuối, khi chưa từng giở công trình nghiên cứu của GS Phương ra thì đề nghị chị trật tự. Chị đọc thử thì lập tức thấy ngay có phải là cuốn sách bán cho kiểu Đại Chúng hay không. Chỉ cần giờ lướt lướt mà xem thôi, quá đủ rồi.
Việc chị không hiểu gì về công trình nghiên cứu suốt 30 năm của ông mà sử dụng những từ như:”để chứng tỏ là mình cũng nghiên cứu, để tự sướng, hoặc để bán kiếm tiền”, đó là sự xúc phạm đến đến hương hồn của GS đầu ngành của VN đấy chị ạ.

Reply
Nkd

Posted 18/09/2010 at 8:02 pm | Permalink

Bàn luận về phương pháp nghiên cứu không nhất thiết phải hiểu biết sâu sắc về ngành khoa học đấy. Karl Popper không nhất thiết phải hiểu sâu về vật lý mới có thể viết Logik der Foschung (logic nghiên cứu) vô cùng nổi tiếng, trong đó bàn luận về nghiên cứu vật lý.

Vấn đề không phải là ở chỗ cuốn sách của ông Phương không chứa đựng những kiến thức cao siêu, mà là ở chỗ ông ấy bôi son trát phấn vào những thứ nguyên gốc. Nhưng đấy là phương pháp nghiên cứu xưa nay ở VN.

Reply
Whitebear

Posted 19/09/2010 at 1:05 pm | Permalink

Đúng là bàn luận về PPNCKH thì không nhất thiết phải am hiểu sâu sắc về nó. Nhưng điều đó khác xa với việc cổ súy cho việc không hiểu gì cả, thiếu kiến thức và đi phán một cách linh tinh về giá trị của một lãnh vực/nghiên cứu khác.

Hỏi thẳng chị, chị phán NCKH của GS Phương là tô son trát phấn, vậy xin hỏi NCKH của chị có đáng được coi là tô son trát phấn hay không? GS Hưng viết bài về Mobius, vậy có bị coi là tô son trát phấn vào những thứ nguyên gốc không?

Blog KHMT này có một câu tôi rất thích “Tầm nhìn ta thật là ngắn mà đã thấy bao nhiêu việc phải làm”. Tuy nhiên, đáng nhẽ tôi cho rằng nên “tô son trảt phấn” thêm cho đầy đủ:
“”Tầm nhìn ta thật là ngắn mà đã thấy bao nhiêu việc phải làm. Kiến thức của con người là hữu hạn, vì vậy đừng có phán linh tinh!”. Turing-Whitebear.

Reply
- Nguyễn Xuân Long
  
  Posted 19/09/2010 at 2:58 pm | Permalink
  
  Whitebear, tôi cũng hiểu trong lịch sử có nhiều thứ từng coi là ở fringe của khoa học sau đó lại được chấp nhận. Những thứ nào đã có cơ hội ấy cả hàng nghìn năm mà vẫn cứ ở fringe thì nên dè chừng. Cuộc sống của ta quá ngắn, khả năng mỗi chúng ta quá bé nhỏ để bỏ thời gian vào cổ súy cho những thứ râu ria ấy của khoa học (nếu Kinh dịch cũng được coi là khoa học).
  
  Về mặt cá nhân ai tin cái gì thì tùy, ai chẳng có vài cục xương trong tủ. Nhưng không cần phải đem ra phơi cho khô ở một public forum thế này. Và theo tôi nên tránh đưa title các “GS đầu ngành” ra đây để dọa mọi ngườị. Thân mến.
  
  Reply
Nkd

Posted 19/09/2010 at 2:07 pm | Permalink

Kiến thức mà không đi kèm năng lực tư duy để sử dụng kiến thức đấy đúng lúc đúng chỗ thì cũng vứt đi. Cứ so sánh linh tinh, chuyện nọ xọ chuyện kia.

Chị không phải là người duy nhất, đã có rất nhiều giáo sư đặc biệt ở nước ngoài chê bai cái kiểu sùng bái Tử vi, Kinh dịch một cách mù quáng rồi.

Reply
Đặng Vũ Giang

Posted 28/09/2010 at 9:21 pm | Permalink

Hoan nghênh anh Hưng có bài viết vô cùng hấp dẫn. So sánh như anh Hưng là rất hệ thống. Tôi đã đọc hàng ngàn cuốn sách mà chưa thấy cuốn nào hệ thống như bài viết ngắn gọn mà vô cùng rõ ràng như của anh Hưng! Chân thành cảm ơn anh Hưng, một tay bút toán học kiệt xuất!

Reply
Đặng Vũ Giang

Posted 29/09/2010 at 1:24 am | Permalink

Rất mong anh Hưng viết nốt cách chứng minh $\mu(x,y)=0$ khi $x\not\leq y$ cho mọi người yêu toán chiêm ngưỡng.

Reply
Đặng Vũ Giang

Posted 29/09/2010 at 1:26 am | Permalink

Hàm Moebius là nàng tiên của toán học! Nàng sẽ hoá giải mọi lời nguyền của phù thuỷ!

Reply

Nghịch đảo Möbius và các viên bi màu

28 Comments

Post a Comment Cancel reply

Thông điệp ngắn

Phản hồi mới

Bài mới

Thư khố

Chuyên Mục

Báo chí

Bảo mật

Blog Việt

Chưa phân loại

Giáo dục

Kỹ thuật

Khoa học khác

Kinh tế, luật pháp, xã hội

Lý thuyết & thuật toán

Mạng

Não học

Toán học

Vật Lý