* Trong bài toán social choice thì mình không biết được a priori distribution. Nếu biết được thì đã không cần bầu làm gì, do luật số lớn. Và không phải bài toán nào cũng cần giả định a priori distribution.

2. Thank you. Now I understand why it is called Fourier transform.

1. Định lý Arrow nói rằng không tồn tại cách bầu “duy lý tuyệt đối trong mọi trường hợp”. Chứng minh xác suất cho thấy là xác suất có một kết quả phi lý là khác 0, do đó — tồn tại kết quả phi lý — dẫn đến không tồn tại cách bầu duy lý.

(Đáng lẽ tôi phải dùng chữ “kết quả phí lý” thay vì viết là “cách bầu phí lý”. Hy vọng câu trên rõ ràng hơn câu đã viết.)

Do đó, equal chance hay không không quan trọng, mình chọn phân bố xác suất nào cũng được, miễn là chứng minh được rằng tồn tại một kết quả bầu cử phi lý là chứng minh được định lý Arrow.

Con số .912 dùng trong trường hợp mình hoàn toàn không có thông tin nào khác về preferences của voters. Trong trường hợp này prior distribution hữu lý duy nhất là uniform distribution.

2. Biến đổi Fourier rời rạc như viết trong bài thì dĩ nhiên không có vụ “hàm tuần hoàn”, nhưng như vậy hơi so sánh táo với cam.

Tôi không viết ra vì không cần thiết cho bài này, nhưng mấy cái duality và convolution (với định nghĩa convolution operator thích hợp) đều vẫn đúng trong cái framework đã trình bày ở trên. Cái Discrete Fourier Transform dùng trong xử lý tín hiệu là trường hợp đặc biệt của cái framework trên.

“Fourier transform on Finite Abelian groups” là một thuật ngữ được dùng rộng rãi. Khoa xem bất kỳ sách Harmonic analysis nào đều thấy.

Còn (b) là nói đến con số .912 chứ không liên quan gì đến phương pháp chứng minh. Sorry hơi nhập nhằng.

Btw, định lý Arrow nói rằng không tồn tại cách bầu duy lý chứ đâu phải là tồn tại cách bầu phi lý.

2. Hiện tại chưa định nghĩa khi nào một biến đổi trên một không gian bất kỳ được gọi là biến đổi Fourier. Nhưng Fourier transform truyền thống có vài characteristic properties làm cho lý thuyết này được sử dụng rộng rãi:
* Duality giữa 1 hàm và Fourier transform của hàm đó
* [Lý thuyết xấp xỉ] Fourier coefficients của các hàm tuần hoàn tiến về 0 với tốc độ exponential
* Tính chất convolution

Nếu chỉ đưa về một hệ cơ sở thì hình như người ta đã có tên gọi: orthonormal basis decomposition hoặc phương pháp Gram-Schmidt. Nếu lạm dụng tên thì có thể sẽ dễ confuse những người học sau này. Đây chỉ là personal opinion .

1. Điểm mấu chốt của phương pháp xác suất: nếu xác suất khác 0 thì tồn tại một cách bầu phi lý. (Ta chọn 6 bộ duy lý xác suất kiểu gì cũng được hết, vì nếu xác suất bầu phi lý khác 0 thì tồn tại một cách bầu có density dương và đó là cách bầu duy lý.) Định lý Arrow chỉ nói là tồn tại một cách bầu phi lý thôi.

Còn (b), tôi đâu có giả sử hàm lựa chọn là đa số đâu nhỉ? Nếu giả sử là hàm đa số rồi sao lại chứng minh nó là hàm độc tài? Có lẽ Khoa “miss” điểm mấu chốt của ppsx nên lấn cấn ở chỗ này.

2. Biến đổi Fourier (rời rạc hay liên tục) cũng chỉ là viết một hàm thành tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở thôi. Dĩ nhiên đoạn này người ta lạm dụng tên gọi một chút.

3. “Fair” hay không về mặt xã hội thì phải … bầu (trưng cầu dân ý), và ta có một vòng lặp vô tận

Well, chẳng môn học nào là vô dụng . Nhưng như thế không ý nghĩa mấy khi bàn đến vấn đề hoạch định tài nguyên (resource allocation). Mình chỉ có thể bàn Toán (trừu tượng) có đáng được đầu tư (nhiều hơn).

1. Khi bàn về xác xuất của tính duy lý, anh đã giả định nhiều thứ: (a) 6 bộ 3 duy lý có xác suất như nhau và (b) hàm lựa chọn là hàm đa số. Thậm chí chỉ cần nếu (a) không đúng thì cũng không suy ra được (x,y) -correlated và phương pháp chứng minh trên cũng không sử dụng được.

Trong khi đó định lý Arrow tổng quát và powerful hơn thế nhiều. Ví dụ: có rất nhiều nơi sử dụng phương pháp assign điểm cho mỗi thứ hạng và cộng điểm từ tất cả các votes. Định lý Arrow vẫn đúng nhưng assumptions ở trên thì không.

2. Anh Hưng có biết tại phép biển đổi trên lại gọi là Fourier? Em chỉ mới thấy phương pháp trên chỉ là sử dụng một tập orthonormal basis functions nhất định chứ chưa thấy linh hồn của Fourier Transform đâu cả . Tính chất Plancherel và Parseval chỉ follow định nghĩa của orthonormal basis.

3. Giả sử có một cơ chế lựa chọn 2 giai đoạn như sau:
(a) Chọn một ‘đại ca’ bằng phương pháp loại trừ irrelevant option, option được voted ít nhất, qua từng vòng một
(b) Sau đó social ranking sẽ là ranking của vị đại ca này (nếu cần phải ranking)

Cơ chế này không compatible với các nguyên tắc của Arrow nhưng vẫn có cùng một mục đích. Nhưng cơ chế này có fair không?

Toán (kể cả loại trừu tượng) chắc chắn là không vô dụng, tôi sẽ có bài tặng anh Trung Hà sớm

“Đảng cử dân bầu” là tự nghĩ ra bác ạ, bọn Mỹ/Israel chắc không có cụm từ tương đương, nó chị gọi là “hàm hằng số” nghe chán chết.

Hê hê, cái câu “chế độ của ta được tự do phát biểu, có điều không đảm bảo tự do sau khi phát biểu thô” là do bác tự nghĩ ra hay có từ trước ạ?

Đảng cứ/dân bầu là thuật ngữ tự nghĩ ra hay có từ trước thế ?

chế độ của ta được tự do phát biểu, có điều không đảm bảo tự do sau khi phát biểu thôi