Một bài toán đố nhỏ

Ngô Quang Hưng | 12 tháng 09, 2007 | Bản để in Bản để in

Khi số nguyên n tiến đến vô cùng, n |\sin(n)| có tiến đến vô cùng hay không? Tại sao? (Nhớ rằng n là số nguyên.)

Chủ đề: Dành cho du học sinh & Vui - Giải Trí |

10 lời bình cho bài “Một bài toán đố nhỏ”

  1. 1
    13 tháng 09, 2007, vào lúc 1:36 am dongnl viết:

    Để chứng minh $latex n |\sin(n)|$ tiến đến vô cùng, ta có thể chứng minh không tồn tại dãy con $latex n_i$ mà $latex \sin(n_i)$ tiến đến không khi $latex n_i$ tiến đến vô cùng.

  2. 2
    13 tháng 09, 2007, vào lúc 1:55 am dongnl viết:

    Để chứng minh n|sin(n)| tiến đến vô cùng, ta có thể chứng minh không tồn tại dãy con n_i mà sin(n_i) tiến đến không khi n_i tiến đến vô cùng.

    Thật vậy, với mọi n, chọn số k nguyên sao cho |n-k*pi| nhỏ nhất, khi đó |sin(n)| = |sin(n-k*pi)|. Nếu |n-k*pi| đủ nhỏ thì sin(n-k*pi) xấp xỉ (n-k*pi). Ta chứng minh không tồn tại dãy con n_i để (n_i-k*pi) tiến đến 0.

    Với mọi n, n-k*pi = k*(n/k - pi). Theo công thức Leibniz:

    pi = 4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…) = 4*(2/(1*3) + 2/(5*7) + 2/(9*11) + …)
    = Sum[8/((2k-1)*(2k+1))], k chạy từ 1 đến vô cùng.

    Vì vậy, với mọi phân số tối giản n/k, |n/k - pi| > 8/o(k) => k*|n/k - pi| > k*8/o(k) > epsilon bé bất kỳ.

    Do đó, n - k*pi = k*(n/k - pi) không thể tiến đến 0 với mọi dãy con n_i nên sin(n) cũng không thể tiến đến 0 với dãy con n_i bất kỳ. Vậy n|sin(n)| tiến đến vô cùng khi số nguyên n tiến đến vô cùng.

    (Trong chứng minh có thể có sai sót, mong các bloggers chỉ giúp)

  3. 3
    13 tháng 09, 2007, vào lúc 7:07 am Ngô Quang Hưng viết:

    Chào dongnl: Tôi thấy đoạn sau đây có lẽ không đúng:

    Vì vậy, với mọi phân số tối giản n/k, |n/k - pi| > 8/o(k) => k*|n/k - pi| > k*8/o(k) > epsilon bé bất kỳ.

    Thật ra là có tồn tại dãy con n_i để sin(n_i) tiến đến 0. Chứng minh đại khái như sau. Với \epsilon nhỏ tùy ý và M lớn tùy ý, ta luôn tìm được một số nguyên n>M sao cho n \bmod \pi \leq \epsilon. Chia đều đoạn [0,\pi) thành k = \lceil \pi/\epsilon \rceil đoạn con với mỗi đoạn dài bằng hoặc nhỏ hơn \epsilon. Xét các số

    M \bmod \pi, 2M \bmod \pi, \dots, (k+1)M\bmod \pi

    Các số này đều rơi vào đoạn [0,\pi), vì thế phải có hai số aM, bM rơi vào cùng một đoạn con. Khi đó

    |a-b|M \bmod \pi \leq \epsilon

    Đặt n = |a-b|M.

  4. 4
    13 tháng 09, 2007, vào lúc 7:11 am khoarus viết:

    Chứng minh n|sin(n)| -> vô cùng.
    Ta chứng minh: với mọi M>0, tồn tại n0 : n>n0 => n|sin(n)|>M.
    - Đặt alpha=min{ |sin(n)| }, dễ thấy alpha >0, (do nk*pi).
    - n|sin(n)| >M |sin(n)|>M/n.
    - M/n->0 khi n-> vô cùng => tồn tại n0 : alpha>M/n0, do đó : với mọi n>n0 => n|sin(n)| >=n*alpha>M. đpcm.
    Sorry, kô biết cách đánh kí hiệu toán học trong này.

  5. 5
    13 tháng 09, 2007, vào lúc 7:13 am khoarus viết:

    Hic, cái dấu và dấu kô hiện ra trong này.
    alpha >0 do n khác k*pi
    n|sin(n)| > M |sin(n)| > M/n

  6. 6
    13 tháng 09, 2007, vào lúc 7:23 am khoarus viết:

    Nghĩ lại thấy chứng minh của mình là sai : ở chỗ alpha > 0 và suy ra alpha >M/n khi n-> vô cùng.

  7. 7
    13 tháng 09, 2007, vào lúc 7:26 am Ngô Quang Hưng viết:

    Hic, cái dấu và dấu kô hiện ra trong này.

    Ừ, mấy cái dấu < và > nó sẽ tưởng là HTML.

  8. 8
    13 tháng 09, 2007, vào lúc 6:30 pm dongnl viết:

    Cám ơn anh Hưng đã giúp chỉ ra sai xót. Lý luận đoạn đó đúng là không chính xác thật.
    Cách chứng minh của anh về dãy n cũng rất hay, có thể áp dụng đối với vô tỉ bất kỳ.

  9. 9
    23 tháng 02, 2008, vào lúc 3:21 pm Phan Đức Thành viết:

    Đây là bài toán khá hay. như 1 kết quả kinh điển là f(n,m)=a.n+m với n.m là 2 số nguyên và a vô tỉ thì hàm trên dense trong R. Nên ta có sin(n)=sin(n+m.pi) là dense trong (-1,1) là của anh Hưng ở trên. Kết quả trên được cm dựa trên 1 BĐT là
    với a vô tì thì với mọi e >0 tồn tại vô hạn cặp (n,m) nguyên sao cho |a.m -n|0 thì dùng (1) xét e nhỏ kiểu e<A/pi tồn tại (p.q) p|sin(p)|= p.| (sin(p-q.pi) |<p.|p-q.pi| (tại vì |p-q.pi|<pi/2) <p.e/q=
    =[q.pi].e/ q<e.q.pi/q=e.pi<A.

    Câu hỏi đặt ra sau này là n.sin(n) có dense trong R hay ko :)

  10. 10
    15 tháng 07, 2008, vào lúc 12:31 am Dương viết:

    Có hội tụ (tồn tại giới hạn) không mà tiến đến vô cùng? Lúc nó nhảy ở bên R- rồi lại nhảy vèo sang R+. :P

Ghi lời bình của bạn: