Một bài toán đố nhỏ

12 Comments

1. dongnl
   Posted 13/09/2007 at 1:36 am | Permalink

   Để chứng minh tiến đến vô cùng, ta có thể chứng minh không tồn tại dãy con mà tiến đến không khi tiến đến vô cùng.
   Reply
2. dongnl
   Posted 13/09/2007 at 1:55 am | Permalink

   Để chứng minh n|sin(n)| tiến đến vô cùng, ta có thể chứng minh không tồn tại dãy con n_i mà sin(n_i) tiến đến không khi n_i tiến đến vô cùng.

   Thật vậy, với mọi n, chọn số k nguyên sao cho |n-k*pi| nhỏ nhất, khi đó |sin(n)| = |sin(n-k*pi)|. Nếu |n-k*pi| đủ nhỏ thì sin(n-k*pi) xấp xỉ (n-k*pi). Ta chứng minh không tồn tại dãy con n_i để (n_i-k*pi) tiến đến 0.

   Với mọi n, n-k*pi = k*(n/k – pi). Theo công thức Leibniz:

   pi = 4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…) = 4*(2/(1*3) + 2/(5*7) + 2/(9*11) + …)
   = Sum[8/((2k-1)*(2k+1))], k chạy từ 1 đến vô cùng.

   Vì vậy, với mọi phân số tối giản n/k, |n/k – pi| > 8/o(k) => k*|n/k – pi| > k*8/o(k) > epsilon bé bất kỳ.

   Do đó, n – k*pi = k*(n/k – pi) không thể tiến đến 0 với mọi dãy con n_i nên sin(n) cũng không thể tiến đến 0 với dãy con n_i bất kỳ. Vậy n|sin(n)| tiến đến vô cùng khi số nguyên n tiến đến vô cùng.

   (Trong chứng minh có thể có sai sót, mong các bloggers chỉ giúp)
   Reply
3. Ngô Quang Hưng
   Posted 13/09/2007 at 7:07 am | Permalink

   Chào dongnl: Tôi thấy đoạn sau đây có lẽ không đúng:

   Vì vậy, với mọi phân số tối giản n/k, |n/k – pi| > 8/o(k) => k*|n/k – pi| > k*8/o(k) > epsilon bé bất kỳ.

   Thật ra là có tồn tại dãy con n_i để sin(n_i) tiến đến 0. Chứng minh đại khái như sau. Với

   \epsilon

   nhỏ tùy ý và

   M

   lớn tùy ý, ta luôn tìm được một số nguyên

   n>M

   sao cho

   n \bmod \pi \leq \epsilon

   . Chia đều đoạn

   [0,\pi)

   thành

   k = \lceil \pi/\epsilon \rceil

   đoạn con với mỗi đoạn dài bằng hoặc nhỏ hơn

   \epsilon

   . Xét các số

   M \bmod \pi, 2M \bmod \pi, \dots, (k+1)M\bmod \pi

   Các số này đều rơi vào đoạn

   [0,\pi)

   , vì thế phải có hai số

   aM, bM

   rơi vào cùng một đoạn con. Khi đó

   |a-b|M \bmod \pi \leq \epsilon

   Đặt

   n = |a-b|M

   .
   Reply
4. khoarus
   Posted 13/09/2007 at 7:11 am | Permalink

   Chứng minh n|sin(n)| -> vô cùng.
   Ta chứng minh: với mọi M>0, tồn tại n0 : n>n0 => n|sin(n)|>M.
   – Đặt alpha=min{ |sin(n)| }, dễ thấy alpha >0, (do nk*pi).
   – n|sin(n)| >M |sin(n)|>M/n.
   – M/n->0 khi n-> vô cùng => tồn tại n0 : alpha>M/n0, do đó : với mọi n>n0 => n|sin(n)| >=n*alpha>M. đpcm.
   Sorry, kô biết cách đánh kí hiệu toán học trong này.
   Reply
5. khoarus
   Posted 13/09/2007 at 7:13 am | Permalink

   Hic, cái dấu và dấu kô hiện ra trong này.
   alpha >0 do n khác k*pi
   n|sin(n)| > M |sin(n)| > M/n
   Reply
6. khoarus
   Posted 13/09/2007 at 7:23 am | Permalink

   Nghĩ lại thấy chứng minh của mình là sai : ở chỗ alpha > 0 và suy ra alpha >M/n khi n-> vô cùng.
   Reply
7. Ngô Quang Hưng
   Posted 13/09/2007 at 7:26 am | Permalink

   Hic, cái dấu và dấu kô hiện ra trong này.

   Ừ, mấy cái dấu < và > nó sẽ tưởng là HTML.
   Reply
8. dongnl
   Posted 13/09/2007 at 6:30 pm | Permalink

   Cám ơn anh Hưng đã giúp chỉ ra sai xót. Lý luận đoạn đó đúng là không chính xác thật.
   Cách chứng minh của anh về dãy n cũng rất hay, có thể áp dụng đối với vô tỉ bất kỳ.
   Reply
9. Phan Đức Thành
   Posted 23/02/2008 at 3:21 pm | Permalink

   Đây là bài toán khá hay. như 1 kết quả kinh điển là f(n,m)=a.n+m với n.m là 2 số nguyên và a vô tỉ thì hàm trên dense trong R. Nên ta có sin(n)=sin(n+m.pi) là dense trong (-1,1) là của anh Hưng ở trên. Kết quả trên được cm dựa trên 1 BĐT là
   với a vô tì thì với mọi e >0 tồn tại vô hạn cặp (n,m) nguyên sao cho |a.m -n|0 thì dùng (1) xét e nhỏ kiểu e<A/pi tồn tại (p.q) p|sin(p)|= p.| (sin(p-q.pi) |<p.|p-q.pi| (tại vì |p-q.pi|<pi/2) <p.e/q=
   =[q.pi].e/ q<e.q.pi/q=e.pi<A.

   Câu hỏi đặt ra sau này là n.sin(n) có dense trong R hay ko
   Reply
10. Dương
    Posted 15/07/2008 at 12:31 am | Permalink

    Có hội tụ (tồn tại giới hạn) không mà tiến đến vô cùng? Lúc nó nhảy ở bên R- rồi lại nhảy vèo sang R+.
    Reply
11. 1001001
    Posted 06/04/2009 at 8:14 am | Permalink

    It is easy to prove that there is a subsequence (a[n]) of N such that:
    lim a[n]*|sin(a[n])| = + infinity.
    We will prove that sequence diverges by prove:
    It exists a subsequence (b[n]) of N such that: lim b[n]*|sin(b[n])| < +infinity (*)
    Recall a famous result by Dirichlet:
    Let a in R\Q, then there are infinitely p,q in N* such that:
    |a – p/q| < 1/(q^2) (**)
    Apply (**) for a=pi (pi is an irrational number) and multiply both side of (*) by p*q, we obtain:
    p*|p – q*pi| < p/q.
    Since |pi -p/q| < 1/q^2, it is obvious that p/q < 5, so we have proved that there are infinitely p,q in N* such that:
    p*|p – q*pi| < 5.
    On the other hand:
    p*|sinp| = p*|sin(p – q*pi)| <= p* |p – q*pi| < 5.
    (*) is proved.
    P/s: sorry for my bad English. I am in the library now and they don’t allow student to download unicode (in fact, no downloading is allowed).
    Reply
12. vuvantu bk HN
    Posted 17/05/2009 at 6:25 am | Permalink

    Chắc các bác này ít làm về Toán , làm gì có cái giới hạn này =))
    Reply