Định trị một đại lượng bằng hai cách [3]

Ví dụ 6: Tiếp theo bài 1 và bài 2, lần này ta xét vài kết quả liên quan đến hệ số Gauss (Gaussian coefficients, còn gọi là q-binomial coefficients vì nó là q-analog của binomial coefficients).

Xét không gian vector

V = \mathbb{F}_q^n

, là không gian hữu hạn

n

chiều trên trường

\mathbb{F}_q

(

q

là lũy thừa của một số nguyên tố). Ta sẽ trả lời hai câu hỏi sau đây:

1. Cho

   0 \leq m \leq n

   . Có bao nhiêu không gian con

   m

   chiều trong

   V

   ?

2. Cho

   0 \leq k \leq m \leq n

   . Gọi

   W

   là một không gian con

   k

   chiều của

   V

   . Có bao nhiêu không gian con

   m

   chiều của

   V

   chứa

   W

   ?

Xét câu hỏi thứ nhất trước. Gọi

x

là tổng số các bộ thứ tự

(v_1, \dots, v_m)

của

m

vectors độc lập tuyến tính của của

V

. Ta định trị

x

bằng hai cách:

• Cách 1: có tất cả

  q^n-1

  cách chọn

  v_1

  , sau đó có thể chọn

  v_2

  bằng

  q^n-q

  cách, vân vân. Nói chung, có

  q^n-q^{i-1}

  cách chọn

  v_i

  để hình thành bộ thứ tự

  (v_1, \dots, v_m)

  . Như vậy,
  

  x = (q^n-1)(q^n-q)\dots(q^n-q^{m-1})

• Cách 2: gọi

  g(n,m)

  là số không gian con

  m

  chiều trong

  V

  . Xét một không gian con

  m

  chiều

  W

  bất kỳ. Gọi

  y

  là tổng số bộ thứ tự

  (v_1, \dots, v_m)

  của

  m

  vectors độc lập tuyến tính của của

  W

  . (Các vectors này là một hệ cơ sở của

  W

  .) Tương tự như trong cách 1, ta biết
  

  y = (q^m-1)(q^m-q)\dots(q^m-q^{m-1})

  
  Dễ thấy rằng

  x=y \cdot g(n,m)

  .

Do đó, qua hai cách định trị này ta kết luận

g(n,m) = \frac{x}{y} = \frac{(q^n-1)(q^n-q)\dots(q^n-q^{m-1})}{(q^m-1)(q^m-q)\dots(q^m-q^{m-1})}.

(q)_k = (1-q)\dots(1-q^k)

, và viết lại các hệ số Gauss như sau:

g(n,m) := \genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{m}_q = \frac{(q)_n}{(q)_m (q)_{n-m}}

Bài tập 1: trả lời câu hỏi số hai bằng phương pháp định trị hai cách. (Gợi ý: định trị tổng số các bộ thứ tự

(v_1, \dots, v_{m-k})

sao cho chúng độc lập tuyến tính và các

v_i

đều không nằm trong

W

. Câu trả lời sẽ là

\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n-k}{m-k}_q

.) Qua bài tập này, ta có thể thấy sự tương đồng giữa hệ số Gauss và hệ số binomial.