Định trị một đại lượng bằng hai cách [3]

Ngô Quang Hưng | 16 tháng 04, 2006 | Bản để in Bản để in

Ví dụ 6: Tiếp theo bài 1 và bài 2, lần này ta xét vài kết quả liên quan đến hệ số Gauss (Gaussian coefficients, còn gọi là q-binomial coefficients vì nó là q-analog của binomial coefficients).

Xét không gian vector V = \mathbb{F}_q^n, là không gian hữu hạn n chiều trên trường \mathbb{F}_q (q là lũy thừa của một số nguyên tố). Ta sẽ trả lời hai câu hỏi sau đây:

  1. Cho 0 \leq m \leq n. Có bao nhiêu không gian con m chiều trong V?
  2. Cho 0 \leq k \leq m \leq n. Gọi W là một không gian con k chiều của V. Có bao nhiêu không gian con m chiều của V chứa W?

Xét câu hỏi thứ nhất trước. Gọi x là tổng số các bộ thứ tự (v_1, \dots, v_m) của m vectors độc lập tuyến tính của của V. Ta định trị x bằng hai cách:

  • Cách 1: có tất cả q^n-1 cách chọn v_1, sau đó có thể chọn v_2 bằng q^n-q cách, vân vân. Nói chung, có q^n-q^{i-1} cách chọn v_i để hình thành bộ thứ tự (v_1, \dots, v_m). Như vậy,
    x = (q^n-1)(q^n-q)\dots(q^n-q^{m-1})
  • Cách 2: gọi g(n,m) là số không gian con m chiều trong V. Xét một không gian con m chiều W bất kỳ. Gọi y là tổng số bộ thứ tự (v_1, \dots, v_m) của m vectors độc lập tuyến tính của của W. (Các vectors này là một hệ cơ sở của W.) Tương tự như trong cách 1, ta biết
    y = (q^m-1)(q^m-q)\dots(q^m-q^{m-1})

    Dễ thấy rằng x=y \cdot g(n,m).

Do đó, qua hai cách định trị này ta kết luận

g(n,m) = \frac{x}{y} = \frac{(q^n-1)(q^n-q)\dots(q^n-q^{m-1})}{(q^m-1)(q^m-q)\dots(q^m-q^{m-1})}.

Trong ngôn ngữ của q-series, ta thường ký hiệu (q)_k = (1-q)\dots(1-q^k), và viết lại các hệ số Gauss như sau:
g(n,m) := \genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{m}_q = \frac{(q)_n}{(q)_m (q)_{n-m}}

Bài tập 1: trả lời câu hỏi số hai bằng phương pháp định trị hai cách. (Gợi ý: định trị tổng số các bộ thứ tự (v_1, \dots, v_{m-k}) sao cho chúng độc lập tuyến tính và các v_i đều không nằm trong W. Câu trả lời sẽ là \genfrac{[}{]}{0pt}{}{n-k}{m-k}_q.) Qua bài tập này, ta có thể thấy sự tương đồng giữa hệ số Gauss và hệ số binomial.

Chủ đề: Combinatorics |

1 lời bình cho bài “Định trị một đại lượng bằng hai cách [3]”

  1. 1
    14 tháng 06, 2007, vào lúc 9:50 am npson viết:

    Ah, day cung la cach tinh cap cua general linear group GL(n,k)

Ghi lời bình của bạn: