Định trị một đại lượng bằng hai cách [2]

Ngô Quang Hưng | 12 tháng 04, 2006 | Bản để in Bản để in

Tiếp theo bài trước, lần này ta xét một ví dụ kinh điển.

Ví dụ 5. Euler là bậc thầy của kỹ thuật định trị hai cách (và là bậc thầy của ti tỉ thứ khác). Năm ông 24 tuổi (1731), Euler là người đầu tiên trong lịch sử toán học tìm được biểu thức tính \zeta(2), mà thời đó gọi là bài toán Basel. Số là Jakob Bernoulli rất bức xúc vì mãi không tìm ra giới hạn của tổng

\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots

mặc dù Jakob biết rõ là nó có giới hạn. Từ thành phố Basel, Jakob viết trong quyển Tractatus de Seriebus Infinitis:

If anyone finds and communicates to us that which thus far has eluded our efforts, great will be our gratitude.

Chứng minh của Euler đại khái như sau. (Ở đây ta thay đổi một chút cho phù hợp với tính chặt chẽ của toán học hiện đại, nhưng tinh thần của chứng minh của Euler hoàn toàn không bị làm méo đi.) Ta khai triển biểu thức \sin(x)/x bằng hai cách:

  1. Dùng khai triển Taylor, dễ thấy
    \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \dots
  2. Dùng biến đổi Fourier, “dễ” chứng minh được rằng (ta quay lại với biến đổi Fourier vào dịp khác, vì kỹ thuật này tuyệt đối hữu dụng)
    \frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\dots

Hệ số của x^2 ở biểu thức 1 là - \frac{1}{3!}, còn hệ số của x^2 ở biểu thức 2 là - \frac{1}{\pi^2} \zeta(2). Nên \zeta(2) = \pi^2/6. Ta định trị hệ số của x^2 bằng hai cách để chứng minh một trong những công thức đẹp nhất trong toán học:

\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}

Robin Chapman có ghi lại một đống cách chứng minh điều này. Về Euler, tôi giới thiệu quyển “Euler, the master of us all” của Will Dunham. Các hàm zeta bậc cao hơn (và chẵn) cũng có thể tính cụ thể được dùng phương pháp định trị bằng hai cách.

Chủ đề: Combinatorics |

3 lời bình cho bài “Định trị một đại lượng bằng hai cách [2]”

  1. 1
    14 tháng 06, 2007, vào lúc 9:55 am npson viết:

    Tong quat hon day la cach dung formal power series ring. Em thay co 2 quyen huu dung:
    1. Enumerative combinatorics cua Richard Stanley
    2. GeneratingFunctionology co ban online
    Em van con thac mac la tai sao ban kinh hoi tu bang 0 van duoc chap nhan. Trong cong viec em cung thuong dung Poincare series de tinh ranks cua cac cohomology.

  2. 2
    14 tháng 06, 2007, vào lúc 11:47 am Ngô Quang Hưng viết:

    Hello npson,

    Em van con thac mac la tai sao ban kinh hoi tu bang 0 van duoc chap nhan.

    Riêng về formal power series thì quyển tốt hơn Stanley là quyển của Goulden và Jackson. Một số formal series converge theo nghĩa giải tích, nhưng nói chung ta không cần định nghĩa convergence mạnh như thế khi làm việc với formal series. Ví dụ, theo nghĩa giải tích mà chứng minh rằng đạo hàm cúa tổng bằng tổng đạo hàm thì cần nhiều điều kiện phức tạp; còn trong formal power series thì chứng minh này tầm thường.

    Tôi nhớ là Wilf có nói rằng ta nên tưởng tượng formal power series như một dây móc áo dài vô han. Các hệ số là các cái áo (hữu hạn).

  3. 3
    14 tháng 06, 2007, vào lúc 12:46 pm npson viết:

    Thuc ra em hieu co so cua cai nay la graded algebra of finite type. Moi coefficient tuong ung voi 1 finite rank. No con co the xem la bat nguon tu ket qua la polynomial algebra la free commutative algebra do do moi f.g. commutative algebra deu la anh cua polynomial algebra. Quy tac nhan trong formal power series ring bat nguon tu polynomial ring. Em chi nho la khi doc Stanley, ong ta co 1 comment la se CM moi thu ok voi truong hop ban kinh hoi tu bang 0 o dau do con trong 1 vai chuong dau cu chap nhan moi thu. Gio da lau khong dung den nen em khong nho chinh xac tai sao khi do cam thay khong chac lam neu ban kinh tu bang 0. Ban kinh tu >0 thi hoan toan Ok. Dao ham trong formal power series chi la formal derivative, cung thua ke tu dao ham formal cua polynomial ring, khong co lien quan gi den giai tich, no hoan toan well-defined ngay ca khi ground field khong la normed field.

Ghi lời bình của bạn: