Going to higher dimensional space?
Nguyễn Xuân Long | 08 tháng 03, 2006 | 
Bản để in
Bài blog hôm qua của bác Hưng về bài phỏng vấn về trí tưởng tượng và toán học rất thú vị. Có rất nhiều issues đáng nói mà hy vọng bác Hưng có thời gian khai thêm mào. Tôi rất thích rất nhiều câu trả lời của giáo sư Mazur, đặc biệt trước nhiều câu hỏi (có thể cố tình làm) naive. Ví dụ câu sau đây, khi được hỏi:
“What about considerations involving higher dimensions than the three of common spatial experience? Must we rely on analogies to that common world? To what extent would that be possible without, perhaps, deluding ourselves that we are really understanding those more complex spaces, not just squashing them to fit our limited senses?”
Câu hỏi thú vị ở nhiều khía cạnh, cả về triết lý và về toán học. Câu trả lời cũng hay và dài. Sau đây là một trích đoạn, mà tôi tâm đắc từ một khía cạnh khác (algorithmics!):
“One isn’t quite finished if I just give you a finite repertoire — a bag of tricks, so to speak, in the art of squashing — because at a point in onés development of these intuitions, one actually sees more than the mere sum of tricks. One realizes that there is a certain unexpected pliability of spatial intuitions that makes spaces of any dimension equally accessible — equally accessible, and in certain respects (and here’s a surprise) more easily accessible than lower-dimensional spaces. Topologists understand very well that for certain important work, higher dimensional spaces are simply easier than lower-dimensional spaces — therés more room to move around…”
Nếu bạn là một người design thuật toán, có rất nhiều ví dụ tại sao công việc của chúng ta sẽ dễ dàng hơn rất nhiều khi chuyển vấn đề sang không gian nhiều chiều hơn. Vài ví dụ: neural network algorithms (with hidden layers), graphical models (with hidden variables, còn gọi là latent variables trong thống kê), thuật toán dựa trên (higher dimensional) reproducing kernel Hilbert spaces, v.v.
Additional dimensions cho chúng ta nhiều rooms để hiểu, giải thích vấn đề và thậm chí tìm ra các solutions ở đó. Nhiều thứ khi project ngược về lower-dimension trở nên rất khó hiểu, trở thành dạng “không mẫu mực” như đánh đố.
Một ví dụ điển hình khác là sự khác biệt giữa toán “sơ cấp” vs. toán cao cấp hơn.
Nhưng cái này thì có lẽ ai cũng biết…
Tôi thấy rất có lợi cho các graduate students của KHMT nên biết thêm về toán cao cấp, ít nhất là một số khía cạnh của chúng (ví dụ, các khái niệm cơ bản về abstract algebra, topology, measure theory). Đấy chính là một cách mở rộng cái knowledge/educational background space của chính mình lên higher dimensional space. Nó sẽ giúp ích bạn lâu dài trong công việc, và đôi khi cũng gây ấn tượng tốt với những đồng nghiệp trong KHMT đang sống ở 2-dimensional plane 
Bác Long nhắc đến vụ high dimensonal spaces, em lại nhớ đến cái kernel trick trong SVM. Theo em hiểu đấy cơ bản là cách để fit data set của mình vào một space nào đó hợp lí nhất. Có đúng không nhỉ?
Bác Long nói là additional dimensions thì tốt, vì có nhiều room hơn để giải. Về lí thuyết em nghĩ là hợp lí, nhưng mà thực hành chưa chắc đã đúng. Ví dụ như là nếu mỗi feature là 1 dimension có khi tự dung bác “bịa thêm” 1 cái feature mới, nghe thi hay nhưng đến lúc chạy kết quả lại không tối ưu bằng cái cũ với một lower dimensional space. Cái này em thấy rất là rõ với hệ thống machine translation ở lab em. Nhiều lúc add them feature vào, feature đảm bảo cục kì hợp lí, nhưng chay thí nghiệm thì lại cho kết quả tồi đi.
Đúng rồi, nếu thêm những dimensions mà useless, không relevant, thì càng làm mọi chuyện rối rắm thêm. Vấn đề là những additional dimensions na`y là gì, cái này đòi hỏi nhiều suy nghĩ đối với structure of the problem at hand.
Nhân đây, mình không thích terminology “kernel trick”. Bị overloaded ở các papers nhiều quá. Nhiều cái gọi là trick ở low dimensional space thực ra chẳng có gì tricky cả nếu nhìn ở (a proper) high dimensional space
BTW, mình cũng không nói là lúc nào bay trên trời thì cũng tốt hơn là đi bộ trên mặt đất. Con chim say rượu thì không thể tìm được đường về nhà, còn con gà thì tìm được mà
Ngay cả các topologists cũng nói vậy:
Topologists understand very well that for ***certain*** important work, higher dimensional spaces are simply easier than lower-dimensional spaces — therés more room to move around…
Cho nên là tùy, nhưng điều quan trọng là phải nên aware là có một option là phải bay khi cần.
Trong vật lý lý thuyết có hai xu hướng ngược nhau đi lên nhiều chiều và xuống thấp
chiều. Cũng kỳ lạ là không gian 3 chiều ( 4 nếu tính cả thời gian) là có nhiều vấn
đề nhất, và cũng là số chiều để truyền được tín hiệu sóng. Về mặt topo, đúng là các
đa tạp có chiều khác 3 thì dễ làm hơn. Về mặt vật lý ( đúng hơn là toán lý), kỳ dị
Landau, phân kỳ Feynman chỉ xẩy ra trong 3 chiều không gian.
Đi lên nhiều chiều có thể giúp một số việc:
i) Thống nhất nhiều đối tượng thành một đối tượng nhiều chiều. Nói như nhà Phật
thì vạn vật đều từ Phật tính mà ra. Hay nói một cách khác, chúng ta và con mèo con
chó chỉ là các hình chiếu của một đối tượng duy nhất gọi là Phật. Ý tưởng của
Kaluza-Klein, tương tác hấp dẫn và các tương tác khác chỉ là hình chiếu của tương tác
hấp dẫn tronh nhiều chiều. Các hạt điểm (dim =0) là các dao động của cùng một sợi
dây trong lý thuyết string. Đi theo cách này, thì ít hy vọng tìm ra cách giải quyết
trực tiếp được các bài toán đang muốn giải. Phần lớn kiểu làm này là để phát hiện ra
các quan hệ mới giữa các sự vật khác nhau.
ii) Có tính kỹ thuật: Tính toán trong số chiều n tùy ý (n như complex variable).
Kết quả tìm được sẽ thác triển cho n=3 để “tính toán” một số đại lượng phân kỳ.
Đi về thấp chiều trong vật lý thường để tính ra kết quả tường minh, giải một số
bài toán chỉ có thể giải xấp xỉ trong 3 chiều làm đối chứng.
Quay trở lại phương pháp đưa bài toán lên nhiều chiều. Vấn đề thường đặt ra là các
chiều extra có khác gì 3 chiều không gian thông thường. Nếu chúng cũng như thế thì
tại sao ta không “nhìn” thấy chúng hay tại sao Thượng đế lại bắt ta “mù” với các
chiều đó.
Có một số quan điểm cho rằng các chiều extra đều compact và rất nhỏ nên ta không
thấy bằng mắt thường được. Có quan điểm cho rằng các chiều đó không phải là chiều
Euclide mà có thể là các số siêu phức hay thậm chí là phần tử của các cấu trúc đại số
như Clifford, Grassman,… Kể cũng phải, Thượng đế tội gì mà không dùng khi có trong
tay một kho công cụ khi sáng tạo ra thế giới.
Tôi không biết abstract algebra, topology, measure theory có áp dụng trực tiếp vào KHMT
không nhỉ. Đã ai thử ý tưởng này chưa nhỉ?
Nhiều lắm bác ạ, không kể xiết. (Ví dụ nhỏ: tôi đang viết một paper phải dùng arrangement của các vector spaces on finite fields)
Abstract algebra nói chung được dùng rất nhiều trong CS, đặc biệt là cryptography và computational complexity. Nhiều định lý sâu sắc nhất của hardness of approximation of algorithms, for instance, đều dùng abstract algebra.
Measure theory thì dùng nhiều trong machine learning (statistical techniques, at the very least), cái này bác hỏi bác Long.
Topology đóng vai trò quan trọng trong nhiều kết quả của computational geometry (space embedding, e.g.)
Bác AV, những vấn đề tôi đang làm hiện nay đòi hỏi áp dụng trực tiếp measure theory và functional analysis hàng ngày. Quả thực những thứ này không xa với ứng dụng lắm, đặc biệt trong machine learning, information theory, signal processing,…
Bác Hưng có thể display recent comments lên trang chủ được không?
Tôi đang thử tìm cách. WordPress có mấy cái “recent comments” hacks mà tôi chưa vừa ý lắm, không rõ version 2.0 mới ra có gì hay hơn không. Chắc chắn sẽ có “recent comments” trong vài tuần tới.