Nhân ma trận, DFT, và lý thuyết biểu diễn nhóm (3)

Ngô Quang Hưng | 04 tháng 12, 2005 | Bản để in Bản để in

Trong các bài trước, tôi đã đề cập sơ qua về nhân ma trận và biến đổi Fourier rời rạc. Chủ đề lần này là lý thuyết biểu diễn nhóm. Trong các bài tới ta sẽ liên hệ chúng với nhau.

Đại khái, lý thuyết biểu diễn nhóm cho phép ta nghiên cứu các nhóm (trong đại số trừu tượng) dùng đại số tuyến tính. Bằng cách này, một số vấn đề, đặc tính của các nhóm trừu tượng có thể được giải quyết và tìm hiểu dùng các công cụ của đại số tuyến tính. Tôi đặc biệt giới thiệu quyển Algebra của Michael Artin và quyển The Symmetric Group của Bruce Sagan. Hai quyển này giới thiệu lý thuyết biểu diễn nhóm rất tốt.

Trước hết ta định nghĩa biểu diễn ma trận (matrix representation) của một nhóm. Một biểu diễn ma trận n chiều (n-dimensional matrix representation) của một nhóm G là một phép đồng cấu (homomorphism)

R: G \rightarrow GL_n(F)

Trong đó F là một trường (field), ví dụ như trường số phức; còn GL_n(F) là nhóm tuyến tính tổng quát (general linear group) bậc n trên F.

Tổng quát hơn, ta không nhất thiết phải biểu diễn nhóm bằng các ma trận. Gọi V là một không gian vector có số chiều hữu hạn. Gọi GL(V) là nhóm tuyến tính tổng quát trên V, nghĩa là GL(V) là tập hợp các toán tử tuyến tính khả nghịch (invertible linear operator). Một phép biểu diễn của nhóm G trên không gian V là phép đồng cấu

\rho : G \to GL(V)

Ta dùng \rho_g để ký hiệu ảnh của phần tử g \in G. Nếu ta có một bộ vector cơ sở của V thì ta có thể dễ dàng chuyển \rho thành một phép biểu diễn ma trận. (Trong trường hợp đó, mỗi phần tử g \in G sẽ có tương ứng một ma trận khả nghịch \rho_g.)

Trong phần còn lại của bài này, để đơn giản vấn đề ta chỉ xét V là một không gian tuyến tính n chiều trên trường số phức (hiểu là V = \mathbb{C}^n). Như hầu hết các đối tượng trừu tượng khác trong toán học, ta tìm cách chia một phép biểu diễn nhóm thành các thành phần nhỏ hơn, cho đến khi “tối giản”. Từ đó, ta có thể nghiên cứu một cấu trúc lớn bằng các cấu trúc tối giản — ràng buộc cấu trúc chặt chẽ hơn.

Cho trước một phép biểu diễn \rho của G trên không gian V, một bilinear form \langle \cdot, \cdot \rangle được gọi là G-invariant nếu, với mọi v, w \in V và g \in G ta có

\langle v ,w \rangle = \langle \rho_g(v), \rho_g(w) \rangle

Cho trước một positive definite hermitian form \{\cdot, \cdot\} trên không gian V, dễ chứng minh rằng cái form sau đây là G-invariant, và positive definite hermitian:
\langle v, w \rangle = \frac{1}{N} \sum_{g \in G} \{\rho_g(v), \rho_g(w)\}

trong đó N = |G|.

Một không gian con W của V được gọi là G-invariant nếu, với mọi w \in W và g \in G ta có \rho_g(w) \in W. Nếu \rho không có không gian con G-invariant nào ngoài chính V và \{\vec{0}\} thì \rho được gọi là là một phép biểu diễn tối giản của G.

Nếu V là tổng trực tiếp (direct sum) của hai không gian con G-invariant W_1 và W_2, ký hiệu là V = W_1 \oplus W_2, thì phép biểu diễn \rho trên V được xem là tổng trực tiếp của \rho_1 và \rho_2, viết là \rho = \rho_1 \oplus \rho_2, trong đó \rho_1 và \rho_2 là các giới hạn của \rho trên W_1 và W_2, theo thứ tự. Dĩ nhiên, nếu \rho là phép biểu diễn tối giản, thì \rho không phải là tổng trực tiếp của các phép biểu diễn khác, ngoại trừ cái tổng tầm thường V \oplus \{O\}.

Dùng kết luận vừa đề cập ở trên rằng tồn tại một G-invariant và positive definite Hermitian form trên V nếu V là một không gian vector phức, ta có thể chứng minh định lý Maschke không khó khăn lắm.

Định lý Maschke: bất kỳ phép biểu diễn (phức) nào trên một nhóm hữu hạn G đều là tổng của các phép biểu diễn tối giản.

Chủ đề: Thuật Toán |

2 lời bình cho bài “Nhân ma trận, DFT, và lý thuyết biểu diễn nhóm (3)”

  1. 1
    27 tháng 11, 2006, vào lúc 8:38 am thucon viết:

    Hay thật!, đúng cái em đang mơ hồ khi học DSP.
    Anh Hưng ơi, em xem đến đây thì mất vết rồi, anh không viết tiếp đề tài này hay là đổi tên khác vậy? Em hỏi vậy vì em mới chỉ khám phá blog này vài tháng nay thôi.
    Chào anh!

  2. 2
    27 tháng 11, 2006, vào lúc 8:51 am Ngô Quang Hưng viết:

    Xin lỗi, tại tôi chưa có thì giờ viết tiếp. Có nhiều đề tài rất hay mà tổng thời gian thì có hạn. Dĩ nhiên, khi các bạn đọc và thấy hữu dụng thì tôi sẽ có hứng viết tiếp.

Ghi lời bình của bạn: